Quadrifolium

Roterat quadrifolium

Quadrifolium skapad med kugghjul

Den här artikeln handlar om den geometriska formen. För växten, se Fyrklöver . För ramverket för symmetrisk form, se Quatrefoil .

Quadrifolium (även känd som fyrklöver ) är en typ av rosenkurva med en vinkelfrekvens på 2. Den har den polära ekvationen :

$r=a\cos(2\theta ),\,$

med motsvarande algebraiska ekvation

$(x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}.\,$

Roterad moturs 45° blir detta

$r=a\sin(2\theta )\,$

med motsvarande algebraiska ekvation

$(x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}.\,$

I båda former är det en plan algebraisk kurva av släktet noll.

Den dubbla kurvan till quadrifolium är

$(x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2} =16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+ y^{2}).\,$

Dubbla quadrifolium

Arean inuti quadrifolium är ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi a^{2}} ,$ vilket är exakt hälften av arean av quadrifoliums omkretscirkel. Omkretsen av quadrifolium är

$8a\operatörsnamn {E} \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=4\pi a\left({\frac {(52 {\sqrt {3}}-90)\operatörsnamn {M} '(1,7-4{\sqrt {3}})}{\operatörsnamn {M} ^{2}(1,7-4{\sqrt {3}})}}+{\frac {7-4{\sqrt {3}}}{\operatörsnamn {M} (1,7-4{\sqrt {3}})}}\right)$

där $\operatorname {E} (k)$ är den fullständiga elliptiska integralen av det andra slaget med modulen $k$ , $\operatorname {M}$ är aritmetiken– geometriskt medelvärde och $'$ anger derivatan med avseende på den andra variabeln.

Anteckningar

•   J. Dennis Lawrence (1972). En katalog över speciella plankurvor . Dover Publikationer. sid. 175 . ISBN 0-486-60288-5 .

externa länkar

• Interaktivt exempel med JSXGraph