Pseudokomplement
I matematik , särskilt i ordningsteori , är ett pseudokomplement en generalisering av begreppet komplement . I ett gitter L med bottenelement 0 sägs ett element x ∈ L ha ett pseudokomplement om det finns ett största element x * ∈ L med egenskapen att x ∧ x * = 0. Mer formellt, x * = max{ y ∈ L | x ∧ y = 0 }. Själva gittret L kallas ett pseudokomplementerat gitter om varje element i L är pseudokomplementerat. Varje pseudokomplementerat gitter är nödvändigtvis begränsat , dvs det har också en 1. Eftersom pseudokomplementet är unikt per definition (om det existerar), kan ett pseudokomplementerat gitter utrustas med en unär operation * som mappar varje element till dess pseudokomplement; denna struktur kallas ibland en p -algebra . Men denna senare term kan ha andra betydelser inom andra områden av matematiken.
Egenskaper
I en p -algebra L , för alla
- Kartan x ↦ x * är antiton . Speciellt 0* = 1 och 1* = 0.
- Kartan x ↦ x ** är en stängning .
- x * = x ***.
- ( x ∨ y )* = x * ∧ y *.
- ( x ∧ y )** = x ** ∧ y **.
Mängden S ( L ) ≝ { x ** | x ∈ L } kallas skelettet av L . S ( L ) är ett ∧- delgitter av L och bildar tillsammans med x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( x * ∧ y *)* en boolesk algebra (komplementet i denna algebra är *). I allmänhet S ( L ) inte ett subgitter av L. I en distributiv p -algebra är S ( L ) mängden av kompletterade element av L.
Varje element x med egenskapen x * = 0 (eller motsvarande, x ** = 1) kallas tät . Varje element i formen x ∨ x * är tätt. D ( L ), mängden av alla täta element i L är ett filter av L . En distributiv p -algebra är boolesk om och endast om D ( L ) = {1}.
Pseudokomplementerade gitter bildar en variation ; faktiskt, det gör pseudokomplementerade semilattices också.
Exempel
- Varje ändligt distributivt gitter är pseudokomplementerat.
- Varje stenalgebra är pseudokomplementerad. Faktum är att en stenalgebra kan definieras som ett pseudokomplementerat distributivt gitter där något av följande ekvivalenta påståenden gäller för alla
- S ( L ) är ett subgitter av L ;
- ( x ∧ y )* = x * ∨ y *;
- ( x ∨ y )** = x ** ∨ y **;
- x * ∨ x ** = 1.
- Varje Heyting-algebra är pseudokomplementerad.
- Om X är ett topologiskt utrymme är (öppen uppsättning) topologin på X ett pseudokomplementerat (och distributivt) gitter där mötet och sammanfogningen är den vanliga föreningen och skärningspunkten mellan öppna uppsättningar. Pseudokomplementet av en öppen mängd A är det inre av setkomplementet av A . Dessutom är de täta elementen i detta gitter exakt de täta öppna delmängderna i topologisk mening.
Relativt pseudokomplement
Ett relativt pseudokomplement av a med avseende på b är ett maximalt element c så att a ∧ c ≤ b . Denna binära operation betecknas a → b . Ett gitter med pseudokomplementet för varje två element kallas implikativt gitter eller Brouwerian gitter . I allmänhet kanske ett implikativt gitter inte har ett minimalt element. Om ett sådant minimalt element finns, kan varje pseudokomplement a * definieras med hjälp av relativt pseudokomplement som en → 0.