Pseudoanalytisk funktion

Inom matematiken är pseudoanalytiska funktioner funktioner som introducerats av Lipman Bers ( 1950 , 1951 , 1953 , 1956 ) som generaliserar analytiska funktioner och uppfyller en försvagad form av Cauchy-Riemanns ekvationer .

Definitioner

Låt $z=x+iy$ och låt $\sigma (x,y)=\sigma (z)$ vara en verklig- värdead funktion definierad i en avgränsad domän $D$ . Om $\sigma >0$ och $\sigma _{x}$ och $\sigma _{y}$ är Hölder kontinuerliga , så är $\sigma$ tillåtet i $D$ . Vidare, givet en Riemann-yta $F$ , om $\sigma$ är tillåtet för någon stadsdel vid varje punkt av $F$ , är $\sigma$ tillåtet på ${\ displaystil F}$ .

Den komplext värderade funktionen $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ är pseudoanalytisk med avseende på till en tillåten $\sigma$ vid punkten $z_{0}$ om alla partiella derivator av $u$ och $v$ finns och uppfyller följande villkor:

$u_{x}=\sigma (x,y)v_{y},\quad u_{y} =-\sigma (x,y)v_{x}$

Om $f$ är pseudoanalytisk vid varje punkt i någon domän, så är den pseudoanalytisk i den domänen.

Likheter med analytiska funktioner

• Om $f(z)$ inte är konstanten $0$ , så är nollorna för $f$ alla isolerade.
• Därför är varje analytisk fortsättning av $f$ unik.

Exempel

• Komplexa konstanter är pseudoanalytiska.
• Varje linjär kombination med reella koefficienter för pseudoanalytiska funktioner är pseudoanalytisk.

Se även

• Kvasikonformell kartläggning
• Elliptiska partiella differentialekvationer
• Cauchy-Riemanns ekvationer

Vidare läsning

•   Kravchenko, Vladislav V. (2009). Tillämpad pseudoanalytisk funktionsteori . Birkhauser. ISBN 978-3-0346-0004-0 .
•       Bers, Lipman (1951), "Partiella differentialekvationer och generaliserade analytiska funktioner. Andra anmärkningen" (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 37 ( 1): 42–47, Bibcode : 1951PNAS. ..37...42B , doi : 10.1073/pnas.37.1.42 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88213 , MR 0044006 , PMC 1063297 , PMID 16588987
•   Bers, Lipman (1953), Theory of pseudo-analytic functions , Institute for Mathematics and Mechanics, New York University, New York, MR 0057347