Lösbar grupp

Inom matematiken , närmare bestämt i algebra , är en prolösbar grupp (mindre vanlig: prosoluble group ) en grupp som är isomorf till den omvända gränsen för ett inverst system av lösbara grupper . På motsvarande sätt kallas en grupp prosolvable , om, sedd som en topologisk grupp , varje öppen grannskap av identiteten innehåller en normal undergrupp vars motsvarande kvotgrupp är en lösbar grupp.

Exempel

• Låt p vara ett primtal , och beteckna fältet för p-adiska tal , som vanligt, med $\mathbf {Q} _{p}$ . Sedan Galois-gruppen ${\text{Gal}}({\overline {\mathbf {Q} }}_{p}/\mathbf {Q} _{p})$ , där ${\overline {\mathbf {Q} }}_{p}$ betecknar den algebraiska stängningen av ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}},$ är lösbar. Detta följer av det faktum att för varje finit Galois-tillägg $L$ av $\mathbf {Q} _{p}$ , Galois-gruppen ${\ text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _{p})$ kan skrivas som halvdirekt produkt ${\displaystyle {\text{Gal}} (L/\mathbf {Q} _{p})=(R\r gånger Q)\r gånger P} ,$ med $P$ cyklisk av ordningen $f$ för några $f \in \mathbf {N}$ , $Q$ cyklisk ordningsdelning $p^{f}-1$ , och $R$ av $p$ - maktorder. Därför ${\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _{p})$ lösbar.

Se även

• Galois teori