Porism

En porism är en matematisk proposition eller följd . Det har använts för att hänvisa till en direkt konsekvens av ett bevis , analogt med hur en följd hänvisar till en direkt konsekvens av ett teorem . I modernt bruk är det ett förhållande som gäller för ett oändligt antal värden men bara om ett visst tillstånd antas, såsom Steiners porism . Termen kommer från tre böcker av Euklid som har gått förlorade. En proposition kanske inte har bevisats, så en porism kanske inte är ett teorem eller sant.

Ursprung

Boken som talar om porismer först är Euklids porismer . Vad som är känt om det finns i Pappus av Alexandrias samling , som nämner det tillsammans med andra geometriska avhandlingar och ger flera lemman nödvändiga för att förstå den. Pappus säger:

Porismerna för alla klasser är varken satser eller problem, utan intar en position mellan de två, så att deras uttalanden kan anges antingen som satser eller problem, och följaktligen tror vissa geometrar att de är satser, och andra att de är problem, styrs enbart av uttalandets form. Men det framgår av definitionerna att de gamla geometrarna bättre förstod skillnaden mellan de tre klasserna. De äldre geometrarna betraktade en sats som inriktad på att bevisa vad som föreslås, ett problem som riktad mot att konstruera det som föreslås, och slutligen en porism som riktar sig till att hitta det som föreslås ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ ομοιοτονονοτοτ) .

Pappus sa att den sista definitionen ändrades av vissa senare geometrar, som definierade en porism som en oavsiktlig egenskap som τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματο hypothéos ( tot leōr) det som inte uppfyller en platssats med a (eller i dess ) hypotes. Proclus påpekade att ordet porism användes i två betydelser: den ena betydelsen är "corollary", som ett resultat osökt men sågs följa från en teorem. I den andra meningen tillade han ingenting till definitionen av "de äldre geometrarna", förutom att säga att fyndet av en cirkels mittpunkt och fyndet av det största vanliga måttet är porismer.

Pappus om Euklids porism

Pappus förkastade Euklids definition av porism . En porism, uttryckt i modernt språk, hävdar att givet fyra räta linjer, av vilka tre vänder sig kring de punkter där de möter den fjärde om två av skärningspunkterna för dessa linjer ligger var och en på en fast rät linje, den återstående punkten av korsningen kommer också att ligga på en annan rak linje. Den allmänna definitionen gäller för alla antal, n , av räta linjer, av vilka n kan vända ungefär lika många punkter fixerade på ( n + 1):e. Dessa n raka linjer skär två och två till 1 ⁄ 2 n ( n − 1) punkter, 1 ⁄ 2 n ( n − 1) är ett triangulärt tal vars sida är n − 1. Om de görs att vända sig om n fasta punkter så att alla n − 1 av deras 1 ⁄ 2 n ( n − 1) skärningspunkter, valda med en viss begränsning, ligger på n − 1 givna fasta räta linjer, sedan var och en av de återstående skärningspunkterna, 1 ⁄ 2 n ( n − 1)( n − 2) i antal, beskriver en rät linje.

Ovanstående kan uttryckas som: Om ungefär två fasta punkter, P och Q, gör man svängen till två räta linjer som möts på en given rät linje, L, och om en av dem skär av ett segment, AM, från en fast rät linje , AX, given i position, en annan fast rät linje BY och en punkt B fixerad på den kan bestämmas, så att segmentet BM' som bildas av den andra rörliga linjen på denna andra fasta linje mätt från B har ett givet förhållande X till AM. De lemman som Pappus ger i samband med porismerna är:

  1. grundsatsen att korset eller det anharmoniska förhållandet för en penna med fyra räta linjer som möts i en punkt är konstant för alla transversaler;
  2. beviset på de harmoniska egenskaperna hos en komplett fyrhörning;
  3. satsen att om de sex hörnen i en hexagon ligger tre och tre på två räta linjer, så ligger de tre punkterna i sammangången av motsatta sidor på en rät linje.

Senare analys

Robert Simson förklarade de enda tre påståendena som Pappus anger med någon fullständighet, som publicerades i Philosophical Transactions 1723. Senare undersökte han ämnet porismer i allmänhet i ett verk med titeln De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor, och publicerade efter hans död i en volym, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776).

Simsons avhandling, De porismatibus , börjar med definitionerna för sats, problem, datum, porism och locus. Simon skrev att Pappus definition är för allmän och att han ersatte den som:

Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, convenire communion ostendendum propositionnedam descriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demonstranda sunt, invenienda proponantur. [ förtydligande behövs ]

Simson sa att ett lokus är en art av porism. Sedan följer en latinsk översättning av Pappus anteckning om porismerna och de satser som utgöra huvuddelen av avhandlingen.

John Playfairs memoarer ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, vol. iii.), en sorts uppföljare till Simsons avhandling, utforskade det troliga ursprunget till porismer, eller stegen som ledde gamla geometrar att upptäcka dem. Playfair påpekade att en noggrann undersökning av alla möjliga särskilda fall av ett förslag skulle visa det

  1. under vissa förhållanden blir ett problem omöjligt;
  2. under vissa andra förhållanden, obestämd eller kapabel till ett oändligt antal lösningar.

Dessa fall kunde definieras separat, var på ett sätt som låg mellan teorem och problem och kallades "porismer". Playfair definierade en porism som "[ett] förslag som bekräftar möjligheten att hitta sådana villkor som kommer att göra ett visst problem obestämt eller kapabelt till otaliga lösningar."

Även om Playfairs definition av en porism verkar vara mest gynnad i England, har Simsons åsikt blivit mest allmänt accepterad utomlands och haft stöd av Michel Chasles . Men i Liouvilles Journal de mathematiques pures et appliquées (bd xx, juli 1855) publicerade P. Breton Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide , där han gav en ny översättning av texten av Pappus, och försökte grunda en syn på karaktären av en porism som närmare överensstämmer med Pappus definition. Detta följdes i samma tidskrift och i La Science av en kontrovers mellan Breton och AJH Vincent, som bestred tolkningen som den förra gav av Pappus text, och förklarade sig för Frans van Schootens idé, som framfördes i hans Mathematicae exercitationes (1657). Enligt Schooten, om de olika sambanden mellan räta linjer i en figur skrivs ner i form av ekvationer eller proportioner, så leder kombinationen av dessa ekvationer på alla möjliga sätt och av nya ekvationer som sålunda härrör från dem till upptäckten av otaliga nya egenskaper hos figuren.

Diskussionerna mellan Breton och Vincent, som C. Housel gick med i, förde inte vidare arbetet med att återställa Euclids Porisms , som lämnades till Chasles. Hans verk ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , Paris, 1860) utnyttjar till fullo allt material som finns i Pappus.

En intressant hypotes om porismer lades fram av HG Zeuthen ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, kap viii.). Zeuthen observerade till exempel att intercept-porismen fortfarande är sann om de två fasta punkterna är punkter på en konisk, och de räta linjerna som dras genom dem skär på den koniska i stället för på en fast rät linje. Han förmodade att porismerna var en biprodukt av en fullt utvecklad projektiv geometri av koner.

Se även

Anteckningar

Tillskrivning:

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Porism&oldid=1091380052 "