Semi-ortogonal matris

I linjär algebra är en semi-ortogonal matris en icke -kvadratisk matris med reella poster där: om antalet kolumner överstiger antalet rader, då är raderna ortonormala vektorer ; men om antalet rader överstiger antalet kolumner, är kolumnerna ortonormala vektorer.

På motsvarande sätt är en icke-kvadratmatris A semi-ortogonal om endera

$A^{\operatörsnamn {T} }A=I{\text{ eller }}AA^{\operatörsnamn {T} }=I.\,$

Betrakta i det följande fallet där A är en m × n matris för m > n . Sedan

$A^{\operatornamn {T} }A=I_{n},{\text{ och}}$

$AA^{\operatorname {T} }={\text{matrisen för den ortogonala projektionen på kolumnutrymmet i }}A.$

Det faktum att $\textstyle A^{\operatörsnamn {T} }A=I_{n}}$ { antyder isometriegenskapen

$\|Ax\|_{2}=\|x\|_{2}\,$ för alla x i R ⁿ .

Till exempel är ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ en semi-ortogonal matris.

En semi-ortogonal matris A är semi-enhetlig (antingen A ^† A = I eller AA ^† = I ) och antingen vänster-inverterbar eller höger-inverterbar (vänster-inverterbar om den har fler rader än kolumner, annars höger-inverterbar). Som en linjär transformation som tillämpas från vänster, bevarar en semi-ortogonal matris med fler rader än kolumner prickprodukten av vektorer och fungerar därför som en isometri av det euklidiska utrymmet , såsom en rotation eller reflektion .