Perles konfiguration
Inom geometri är Perles-konfigurationen ett system med nio punkter och nio linjer i det euklidiska planet för vilka varje kombinatoriskt ekvivalent realisering har minst ett irrationellt tal som en av sina koordinater. Den kan konstrueras från diagonalerna och symmetrilinjerna i en regelbunden femhörning , och utelämna en av symmetrilinjerna. I sin tur kan den användas för att konstruera högredimensionella konvexa polytoper som inte kan ges rationella koordinater, med de minsta hörnen av något känt exempel. Alla realiseringar av Perles-konfigurationen i det projektiva planet är likvärdiga med varandra under projektiva transformationer .
Perles-konfigurationen introducerades av Micha Perles på 1960-talet. Det är inte det första kända exemplet på en irrationell konfiguration av punkter och linjer. Mac Lane (1936) beskriver ett 11-punktsexempel, erhållet genom att tillämpa Von Staudts algebra av kast för att konstruera en konfiguration som motsvarar kvadratroten ur två .
Det finns en lång historia av studier av vanliga projektiva konfigurationer , ändliga system av punkter och linjer där varje punkt berör lika många linjer och varje linje berör lika många punkter. Men trots att den heter liknande dessa konfigurationer är Perles-konfigurationen inte regelbunden: de flesta av dess punkter berör tre linjer och de flesta av dess linjer berör tre punkter, men det finns en linje med fyra punkter och en punkt på fyra linjer. I detta avseende skiljer den sig från Pappus-konfigurationen , som också har nio punkter och nio linjer, men med tre punkter på varje linje och tre linjer genom varje punkt.
Konstruktion från en vanlig pentagon
Ett sätt att konstruera Perles-konfigurationen är att börja med en vanlig femhörning och dess fem diagonaler, som bildar sidorna av en mindre vanlig femhörning inom den initiala. De nio punkterna i konfigurationen består av fyra av de fem hörnen i varje femhörning och det delade mitten av de två femhörningarna; de två saknade femhörniga hörnen är valda att vara i linje med mitten. De nio linjerna i konfigurationen består av de fem linjerna som är diagonaler av den yttre femhörningen och sidorna av den inre femhörningen, och de fyra linjerna som passerar genom mitten och genom motsvarande par av hörn från de två femhörningarna.
Projektiv invarians och irrationalitet
En realisering av Perles-konfigurationen består av nio punkter och nio linjer med samma skärningsmönster. Varje förverkligande av denna konfiguration i det euklidiska planet eller, mer allmänt, i det verkliga projektiva planet är likvärdigt, under en projektiv transformation , med en realisering konstruerad på detta sätt från en vanlig femhörning. Eftersom korsförhållandet , ett tal definierat från vilka fyra kolinjära punkter som helst, inte förändras under projektiva transformationer, har varje realisering fyra punkter som har samma korsförhållande som korsförhållandet för de fyra kolinjära punkterna i realiseringen härledd från den reguljära femhörning. Men dessa fyra punkter har som korsförhållande, där är det gyllene snittet , ett irrationellt tal. Var fjärde kolinjär punkt med rationella koordinater har ett rationellt korsförhållande, så Perles-konfigurationen kan inte realiseras med rationella punkter. Branko Grünbaum har gissat att varje konfiguration som kan realiseras med irrationella men inte rationella tal har minst nio punkter; i så fall skulle Perles-konfigurationen vara den minsta möjliga irrationella konfigurationen av punkter och linjer.
Tillämpning i polyedrisk kombinatorik
Perles använde sin konfiguration för att konstruera en åttadimensionell konvex polytop med tolv hörn som på liknande sätt kan realiseras med verkliga koordinater men inte med rationella koordinater. Konfigurationens punkter, tre av dem dubblerade och med tecken associerade med varje punkt, bildar Gale-diagrammet för Perles-polytopen. Ernst Steinitzs bevis på Steinitz sats kan användas för att visa att varje tredimensionell polytop kan realiseras med rationella koordinater, men det är nu känt att det finns irrationella polytoper i fyra dimensioner. Emellertid har Perles-polytopen de minsta hörnen av någon känd irrationell polytop.
Anteckningar
- Berger, Marcel (2010), "I.4 Three configurations of the affine plane and what has happen to them: Pappus, Desargues, and Perles", Geometry revealed , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 17–23, doi : 10.1007/978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1 , MR 2724440
- Grünbaum, Branko (2003), Convex polytopes , Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (andra upplagan), New York: Springer-Verlag, s. 93–95, ISBN 978-0-387-00424-2 , MR 1976856
- Mac Lane, Saunders (1936), "Några tolkningar av abstrakt linjärt beroende i termer av projektiv geometri", American Journal of Mathematics , 58 (1): 236–240, doi : 10.2307/2371070 , JSTOR 2371070 , MR 6507
- Ziegler, Günter M. (2008), "Icke-rationella konfigurationer, polytoper och ytor", The Mathematical Intelligencer , 30 (3): 36–42, arXiv : 0710.4453 , doi : 10.1007/BF02985377 , 871 MR 843