Perfekt obstruktionsteori

I algebraisk geometri, givet en Deligne–Mumford-stack X , består en perfekt obstruktionsteori för X av:

1. ett perfekt tvåtermskomplex $E=[E^{-1}\to E^{0}]$ i den härledda kategorin ${ \displaystyle D({\text{Qcoh}}(X)_{et})}$ av kvasi-koherenta étale-skivor på X , och
2. en morfism ${\displaystyle \varphi \colon E\to {\textbf {L}}_{X}} ,$ där ${\textbf {L}}_{X}$ är det cotangenta komplexet av X , som inducerar en isomorfism på $h^{0}$ och en epimorfism på $h^{-1}$ .

Begreppet introducerades av Kai Behrend och Barbara Fantechi ( 1997 ) för en tillämpning på intersektionsteorin på modulstaplar; i synnerhet för att definiera en virtuell fundamental klass .

Exempel

Schemes

Överväg en vanlig inbäddning $I\colon Y\to W$ som passar in i en kartesisk kvadrat

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {j}}&V\\g\downarrow &&\downarrow f\\Y&{\xrightarrow {i}}&W \end{matris}}$

där $V,W$ är jämna. Sedan komplexet

$E^{\bullet }=[g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to j^{* }\Omega _{V}]$ (i grader $-1,0$ )

bildar en perfekt obstruktionsteori för X . Kartan kommer från kompositionen

$g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to g^{ *}i^{*}\Omega _{W}=j^{*}f^{*}\Omega _{W}\to j^{*}\Omega _{V}$

Detta är en perfekt obstruktionsteori eftersom komplexet är utrustat med en karta till $\mathbf {L} _{X}^{\bullet }$ som kommer från kartorna ${ \displaystyle g^{*}\mathbf {L} _{Y}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }} och$ j $\ displaystyle j^{*}\mathbf {L} _{V}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$ . Observera att den associerade virtuella fundamentala klassen är $[X,E^{\bullet }]=i^{!}[V]$

Exempel 1

Betrakta en jämn projektiv variant $Y\subset \mathbb {P} ^{n}$ . Om vi ​​sätter ${\displaystyle V=W} så$ är den perfekta obstruktionsteorin i $D^{[-1,0]}(X)$

$[N_{X/\mathbb {P} ^{n}}^{\vee }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n} }]$

och den associerade virtuella fundamentala klassen är

$[X,E^{\bullet }]=i^{!}[\mathbb {P} ^{n}]$

I synnerhet, om $Y$ är en jämn lokal fullständig skärning, är den perfekta obstruktionsteorin det kotangenskomplexet (vilket är detsamma som det trunkerade kotangenskomplexet).

Deligne–Mumford stackar

Den tidigare konstruktionen fungerar också med Deligne–Mumford-staplar.

Symmetrisk obstruktionsteori

Per definition är en symmetrisk obstruktionsteori en perfekt obstruktionsteori tillsammans med icke degenererad symmetrisk bilinjär form.

Exempel: Låt f vara en vanlig funktion på en jämn sort (eller stack). Då uppsättningen av kritiska punkter för f bär en symmetrisk obstruktionsteori på ett kanoniskt sätt.

Exempel: Låt M vara ett komplext symboliskt grenrör. Sedan (schemateoretiska) skärningspunkten mellan lagrangiska undergrenar av M bär en kanonisk symmetrisk obstruktionsteori.

Anteckningar

• Behrend, Kai (2005). "Donaldson-Thomas invarianter via mikrolokal geometri". arXiv : math/0507523v2 .
•   Behrend, Kai ; Fantechi, Barbara (1997-03-01). "Den inneboende normala konen". Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . Bibcode : 1997InMat.128...45B . doi : 10.1007/s002220050136 . ISSN 0020-9910 .
• Oesinghaus, Jakob (2015-07-20). "Förstå obstruktionskonen i en symmetrisk obstruktionsteori" . MathOverflow . Hämtad 2017-07-19 .

Se även

• Behrend funktion
• Gromov–Witten invariant