Passande längd
Inom matematiken , särskilt inom det område av algebra som kallas gruppteori , mäter passningslängden (eller nilpotent längd ) hur långt en lösbar grupp är från att vara nilpotent . Konceptet är uppkallat efter Hans Fitting , på grund av hans undersökningar av nilpotenta normala undergrupper .
Definition
En passningskedja (eller passningsserie eller nilpotentserie ) för en grupp är en subnormal serie med nilpotenta kvoter . Med andra ord, en ändlig sekvens av undergrupper som inkluderar både hela gruppen och den triviala gruppen, så att var och en är en normal undergrupp av den föregående, och så att kvoterna av successiva termer är nilpotenta grupper.
Passningslängden eller nilpotenta längden för en grupp definieras som den minsta möjliga längden på en passningskedja, om en sådan finns .
Övre och nedre monteringsserier
Precis som de övre centralserierna och nedre centralserierna är extrema bland centralserier , finns det analoga serier extremal bland nilpotenta serier.
För en finit grupp H är den passande undergruppen Fit ( H ) den maximala normala nilpotenta undergruppen, medan den minimala normala undergruppen så att kvoten av den är nilpotent är γ ∞ ( H ), skärningspunkten för den (ändliga) nedre centralserien , som kallas nilpotent residual . Dessa motsvarar mitten och kommutatorundergruppen (för övre respektive nedre centralserier). Dessa gäller inte för oändliga grupper, så för uppföljaren, anta att alla grupper är ändliga.
0 Den övre Fitting-serien i en finit grupp är sekvensen av karakteristiska undergrupper Fit n ( G ) definierade av Fit ( G ) = 1, och Fit n +1 ( G )/ Fit n ( G ) = Fit (G/ Fit n ( G )). Det är en stigande nilpotent serie, vid varje steg tar den maximala möjliga undergruppen.
0 Den nedre passningsserien i en finit grupp G är sekvensen av karakteristiska undergrupper Fn ( G ) definierade av F ( G ) = G , och Fn G +1 ( G ) = γ∞ ( Fn ( ) ) . Det är en fallande nilpotent serie, vid varje steg tar den minsta möjliga undergruppen.
Exempel
- En icke-trivial grupp har passningslängd 1 om och endast om den är nilpotent.
- Den symmetriska gruppen på tre punkter har passningslängd 2.
- Den symmetriska gruppen på fyra punkter har passningslängd 3.
- Den symmetriska gruppen på fem eller fler punkter har ingen passningskedja alls och är inte lösbar.
- Den itererade kransprodukten av n kopior av den symmetriska gruppen på tre punkter har passningslängd 2 n .
Egenskaper
- En grupp har en passningskedja om och bara om den är lösbar .
- Den nedre Fitting-serien är en Fitting-kedja om och bara om den så småningom når den triviala undergruppen, om och bara om G är lösbar.
- Den övre Fitting-serien är en Fitting-kedja om och bara om den så småningom når hela gruppen, G , om och bara om G är lösbar.
- 0 Den nedre Fitting-serien sjunker snabbast bland alla Fitting-kedjor, och den övre Fitting-serien stiger snabbast bland alla Fitting-kedjor. Explicit: För varje passningskedja, 1 = H ⊲ H 1 ⊲ … ⊲ H n = G , har man att H i ≤ Fit i ( G ), och F i ( G ) ≤ H n − i .
- För en lösbar grupp är längden på den nedre beslagserien lika med längden på den övre beslagserien, och denna gemensamma längd är längden på gruppen.
Mer information finns i ( Huppert 1967 , Kap. III, §4).
Anslutning mellan centralserie och Fittingserie
Vad centralserier gör för nilpotenta grupper, Fitting-serier gör för lösbara grupper. En grupp har en central serie om och bara om den är nilpotent, och en Fitting-serie om och bara om den är lösbar.
Givet en lösbar grupp, är den nedre Fitting-serien en "grövre" division än den lägre centrala serien: den lägre Fitting-serien ger en serie för hela gruppen, medan den lägre centrala serien endast går ned från hela gruppen till den första termen av Passande serie.
Den nedre Fitting-serien fortsätter:
- 0 G = F ⊵ F 1 ⊵ ⋯ ⊵ 1,
medan den nedre centrala serien delar upp det första steget,
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ F 1 ,
0 och är ett lyft av den nedre centrala serien för den första kvoten F / F 1 , som är nilpotent.
Att gå tillväga på detta sätt (lyfta den nedre centrala serien för varje kvot i Fitting-serien) ger en subnormal serie:
- G = G 1 ⊵ G 2 ⊵ ⋯ ⊵ F 1 = F 1,1 ⊵ F 1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F 2 = F 2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F n = 1,
som de grova och fina indelningarna på en linjal .
De successiva kvoterna är abeliska, vilket visar motsvarigheten mellan att vara lösbar och att ha en Fitting-serie.
Se även
- Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (på tyska), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050
- Turull, Alexandre (2001) [1994], "Passlängd" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Turull, Alexandre (2001) [1994], "Fitting chain" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press