3-stegs grupp

Inom matematik är en 3-stegs grupp en speciell sorts grupp med längd på högst 3, som används i klassificeringen av CN-grupper och i Feit–Thompson-satsen . Definitionen av en 3-stegsgrupp i dessa två fall är något annorlunda.

CN-grupper

I teorin om CN-grupper är en 3-stegsgrupp (för vissa primtal p ) en grupp sådan att:

• G = O _{p , p ' , p} ( G )
• O _{p , p ′} ( G ) är en Frobenius - grupp med kärna O _p ( G )
• G /O _p ( G ) är en Frobenius-grupp med kärna Op , _{p ′ ( G} ) / O _p ( G )

Vilken 3-stegsgrupp som helst är en lösbar CN-grupp, och omvänt är vilken lösbar CN-grupp som helst antingen nilpotent eller en Frobenius-grupp eller en 3-stegsgrupp.

Exempel: den symmetriska gruppen S ₄ är en 3-stegsgrupp för primtal p = 2 .

Udda ordningsgrupper

Feit & Thompson (1963 , s.780) definierade en trestegsgrupp som en grupp G som uppfyller följande villkor:

• Den härledda gruppen av G är en Hall-undergrupp med ett cykliskt komplement Q .
• Om H är den maximala normala nilpotenta Hall-undergruppen av G , så är G ′ ′ ⊆ H C _G ( H )⊆ G ′ och H C _G nilpotent och H är ickecyklisk.
• För q ∈ Q icke-trivial är C _G ( q ) cyklisk och icke-trivial och oberoende av q .

•    Feit, Walter ; Thompson, John G. (1963), " Solvability of groups of odd order" , Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029, doi : 10.2140 /pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-86101 62MR 62MR 62MR 62MR 6
•   Feit, Walter ; Thompson, John G .; Hall, Marshall, Jr. ( 1960), "Finita grupper där centraliseraren av alla icke-identitetselement är nilpotent", Mathematische Zeitschrift , 74 : 1–17, doi : 10.1007/BF01180468 , ISSN 0025-5874 , 8  
•    Gorenstein, D. (1980), Finite Groups , New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6 , MR 0569209