Osäkerhetsexponent

Inom matematik är osäkerhetsexponenten en metod för att mäta fraktaldimensionen av en bassänggräns. I ett kaotiskt spridningssystem är systemets invarianta uppsättning vanligtvis inte direkt åtkomlig eftersom den är icke-attraherande och vanligtvis har måttet noll. Därför är det enda sättet att sluta sig till närvaron av medlemmar och att mäta egenskaperna hos den invarianta uppsättningen genom attraktionsbassängerna . Observera att i ett spridningssystem är attraktionsbassänger inte gränscykler och utgör därför inte medlemmar av den invarianta uppsättningen.

Antag att vi börjar med en slumpmässig bana och stör den med en liten mängd, ${\displaystyle \epsilon } ,$ i slumpmässig riktning. Om den nya banan hamnar i en annan bassäng än den gamla, så kallas den epsilon osäker . Om vi ​​tar ett stort antal sådana banor så är den del av dem som är epsilon osäkra osäkerhetsfraktionen , f ( $displaystyle f(\epsilon )}$ , och vi förväntar oss att den ska skalas exponentiellt med $\varepsilon$ :

$f(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\gamma }\,$

definieras osäkerhetsexponenten, ${\displaystyle \gamma } , enligt följande:$

$\gamma =\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln f(\varepsilon )}{\ln \varepsilon }}$

Osäkerhetsexponenten kan visas för att approximera boxräknedimensionen enligt följande:

$D_{0}=N-\gamma \,$

där N är inbäddningsdimensionen . Se artikeln om kaotisk blandning för ett exempel på numerisk beräkning av osäkerhetsdimensionen jämfört med den för en rutorräknande dimension.

• C. Grebogi, SW McDonald, E. Ott och JA Yorke, Final state sensitivity: An obstruction to predictability , Phys. Letters 99A: 415-418 (1983).
• Edward Ott (1993). Kaos i dynamiska system . Cambridge University Press .