Ojämlikhet mellan Erdős och Mordell

I euklidisk geometri säger Erdős –Mordell-ojämlikheten att för varje triangel ABC och punkt P inuti ABC är summan av avstånden från P till sidorna mindre än eller lika med hälften av summan av avstånden från P till hörnen. Den är uppkallad efter Paul Erdős och Louis Mordell . Erdős (1935) ställde problemet med att bevisa ojämlikheten; ett bevis gavs två år senare av Mordell och DF Barrow ( 1937 ). Denna lösning var dock inte särskilt elementär. Efterföljande enklare bevis hittades sedan av Kazarinoff (1957) , Bankoff (1958) och Alsina & Nelsen (2007) .

Barrows ojämlikhet är en förstärkt version av Erdős–Mordell-olikheten där avstånden från P till sidorna ersätts av avstånden från P till de punkter där vinkelhalveringslinjerna för ∠ APB , ∠ BPC och ∠ CPA korsar sidorna. Även om de ersatta avstånden är längre, är deras summa fortfarande mindre än eller lika med halva summan av avstånden till hörnen.

Påstående

Låt $P$ $PN$ en godtycklig punkt P inuti en given triangel $ABC$ $PM$ och låt $PL$ , och vara vinkelräta från $P$ till trianglarnas sidor. (Om triangeln är trubbig kan en av dessa vinkelräta korsa genom en annan sida av triangeln och sluta på linjen som stöder en av sidorna.) Då säger olikheten att

{\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PL+PM

Bevis

Låt sidorna av ABC vara en motsatt A, b mittemot B och c motsatt C; låt också PA = p , PB = q , PC = r , dist(P;BC) = x , dist(P;CA) = y , dist(P;AB) = z . Först bevisar vi det

cr\geq axe+by.

Detta motsvarar

{\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.

Den högra sidan är arean av triangeln ABC, men på vänster sida är r + z åtminstone triangelns höjd; följaktligen kan den vänstra sidan inte vara mindre än den högra. Reflektera nu P på vinkelhalveringslinjen vid C. Vi finner att cr ≥ ay + bx för P:s reflektion. På liknande sätt är bq ≥ az + cx och ap ≥ bz + cy . Vi löser dessa ojämlikheter för r , q och p :

r\geq (a/c)y+(b/c)x,

q\geq (a/b)z+(c/b)x,

p\geq (b/a)z+(c/a)y.

Lägger vi ihop de tre får vi

p+q+r\geq \left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)x+\left({\frac {a}{c} }+{\frac {c}{a}}\right)y+\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)z.

Eftersom summan av ett positivt tal och dess reciproka är minst 2 av AM–GM-olikhet , är vi klara. Likhet gäller endast för den liksidiga triangeln, där P är dess tyngdpunkt.

Ännu en förstärkt version

Låt ABC vara en triangel inskriven i en cirkel (O) och P vara en punkt inuti ABC. Låt D, E, F vara de ortogonala projektionerna av P på BC, CA, AB. M, N, Q är de ortogonala projektionerna av P på tangenterna till (O) vid A, B, C respektive, då:

{\displaystyle PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)

Jämlikhet gäller om och endast om triangeln ABC är liksidig ( Dao, Nguyen & Pham 2016 ; Marinescu & Monea 2017 )

En generalisering

Låt $A_{1}A_{2}...A_{n}$ är en konvex polygon och $P$ är en inre punkt av $A_{1}A_{2}...A_{n}$ . Låt $R_{i}$ vara avståndet från $P$ till vertex $A_{i}$ , $r_{i}$ avståndet från $P$ åt sidan $A_{i}A_{i+1}$ , $w_{i}$ segmentet av halveringslinjen för vinkeln $A_{i}PA_{i+1}$ från $P$ till dess skärning med sidan $A_{i}A_{i+1}$ sedan ( Lenhard 1961 ):

\sum _{i=1}^{n} R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi}{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\ frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}

I absolut geometri

I absolut geometri är Erdős-Mordell-ojämlikheten ekvivalent, som bevisats i Pambuccian (2008), med påståendet att summan av vinklarna i en triangel är mindre än eller lika med två räta vinklar.

Se även

Lista över triangelojämlikheter

Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "A visual proof of the Erdős-Mordell inequality" , Forum Geometricorum , 7 : 99–102 .
Bankoff, Leon (1958), "An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem", American Mathematical Monthly , 65 (7): 521, doi : 10.2307/2308580 , JSTOR 2308580 .
Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), "En förstärkt version av Erdős-Mordell ojämlikheten" (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 317–321, MR 3556993 .
Erdős, Paul (1935), "Problem 3740", American Mathematical Monthly , 42 : 396, doi : 10.2307/2301373 , JSTOR 2301373 .
Kazarinoff, DK (1957), "A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles", Michigan Mathematical Journal , 4 (2): 97–98, doi : 10.1307/mmj/1028988998 .
Lenhard, Hans-Christof (1961), "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung , 12 : 311–314, doi : 10.1007/BF016505 , 3ID 6 01650 , 3ID 1, 205 , 305 81241 .
Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), "Om en förstärkt version av Erdős-Mordell ojämlikheten" (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 197–202 .
Mordell, LJ ; Barrow, DF (1937), "Solution to 3740", American Mathematical Monthly , 44 : 252–254, doi : 10.2307/2300713 , JSTOR 2300713 .

Pambuccian, Victor (2008), "The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature", Journal of Geometry , 88 (1–2): 134–139, doi : 10.1007/s00022-007-1961-4 , S2CID 123082256 .

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Erdős-Mordells sats" . MathWorld .
Alexander Bogomolny , " Erdös-Mordell Inequality ", från Cut-the-Knot .