Barrows ojämlikhet

I geometri är Barrows ojämlikhet en olikhet som relaterar avstånden mellan en godtycklig punkt inom en triangel , triangelns hörn och vissa pekar på triangelns sidor . Den är uppkallad efter David Francis Barrow .

Påstående

Låt P vara en godtycklig punkt inuti triangeln ABC . Från P och ABC , definiera U , V och W som de punkter där vinkelhalveringslinjerna för BPC , CPA och APB skär sidorna BC , CA , AB , respektive. Sedan säger Barrows ojämlikhet det

PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,

med likhet som endast gäller i fallet med en liksidig triangel och P är triangelns centrum.

Generalisering

Barrows ojämlikhet kan utvidgas till konvexa polygoner. För en konvex polygon med hörn $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ låt $P$ vara en inre punkt och $Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}$ $\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1 }$ för vinkelhalveringslinjerna för med tillhörande polygonsidor $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n} ,A_{n}A_{1}$ , då gäller följande olikhet:

\sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi}{n}}\right)\sum _{k=1} ^{n}|PQ_{k}|

Här betecknar $\sec(x)$ sekantfunktionen . För triangelfallet $n=3$ blir olikheten Barrows olikhet på grund av $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right )=2$ .

Historia

Barrowförstärkning Erdös-Mordell

{\begin{aligned }&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}

Barrows ojämlikhet stärker Erdős–Mordell ojämlikheten , som har identisk form förutom med PU , PV och PW ersatta av de tre avstånden P från triangelns sidor. Den är uppkallad efter David Francis Barrow . Barrows bevis på denna ojämlikhet publicerades 1937, som hans lösning på ett problem som ställdes i American Mathematical Monthly för att bevisa ojämlikheten mellan Erdős och Mordell. Detta resultat fick namnet "Barrows ojämlikhet" redan 1961.

Ett enklare bevis gavs senare av Louis J. Mordell .

Se även

externa länkar

Hojoo Lee: Ämnen i ojämlikheter - satser och tekniker