Nevanlinna funktion

Inom matematiken , inom området komplex analys , är en Nevanlinna-funktion en komplex funktion som är en analytisk funktion på det öppna övre halvplanet $\,{\mathcal {H}}\,$ och har icke-negativ imaginär del . En Nevanlinna-funktion mappar det övre halvplanet till sig själv eller till en verklig konstant, men är inte nödvändigtvis injektiv eller surjektiv . Funktioner med den här egenskapen kallas ibland även Herglotz , Pick eller R -funktioner.

Integral representation

Varje Nevanlinna-funktion N tillåter en representation

$N(z)=C+Dz+\int _{ \mathbb {R} }{\bigg (}{\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}{\bigg )}\operatörsnamn {d} \mu (\lambda ),\quad z\in {\mathcal {H}},$

där C är en reell konstant, D är en icke-negativ konstant, ${\mathcal {H}}$ är det övre halvplanet och μ är ett Borelmått på ℝ som uppfyller tillväxtvillkoret

$\int _{\mathbb {R} }{\frac {\operatörsnamn {d} \mu (\lambda )}{1+\lambda ^{2}}}<\infty .$

Omvänt visar sig varje funktion av denna form vara en Nevanlinna-funktion. Konstanterna i denna representation är relaterade till funktionen N via

$C=\Re {\big (}N(i){\big )}\qquad {\text{ och }}\qquad D=\lim _{y\rightarrow \infty }{\frac {N(iy)}{iy}}$

och Borel-måttet μ kan återvinnas från N genom att använda Stieltjes-inversionsformeln (relaterad till inversionsformeln för Stieltjes-transformationen ):

${\big stil \mu {\b (}(\lambda _{1},\lambda _{2}]{\big )}=\lim _{\delta \rightarrow 0}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{ \pi }}\int _{\lambda _{1}+\delta }^{\lambda _{2}+\delta}\Im {\big (}N(\lambda +i\varepsilon ){\big ) }\operatörsnamn {d} \lambda .}$

En mycket liknande representation av funktioner kallas också Poisson-representationen.

Exempel

Några elementära exempel på Nevanlinna-funktioner följer (med lämpligt valda grensnitt i de tre första). ( $z$ kan ersättas med $za$ för valfritt reellt tal $a$ .)

• $z^{p}{\text{ med }}0\leq p\leq 1$

• $-z^{p}{\ text{ with }}-1\leq p\leq 0$

Dessa är injektiva men när p inte är lika med 1 eller −1 är de inte surjektiva och kan roteras till viss del runt ursprunget, som $i(z/i)^{p}~{\text{ med }}~-1\leq p\leq 1$ .

• Ett ark med $\ln(z)$ som det med $f(1)=0$ .

• $\tan(z)$ (ett exempel som är surjektivt men inte injektivt).

• En Möbius-transformation

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$

är en Nevanlinna-funktion om (tillräckligt men inte nödvändigt) ${\overline {a}}db{\overline {c}}$ är ett positivt reellt tal och $\Im ({\overline {b}}d)=\Im ({\overline {a}}c)=0$ . Detta motsvarar mängden sådana transformationer som kartlägger den verkliga axeln till sig själv. Man kan sedan lägga till vilken konstant som helst i det övre halvplanet och flytta polen till det nedre halvplanet, vilket ger nya värden för parametrarna. Exempel: ${\frac {iz+i-2}{z+1+i}}$

• $1+i+z$ och $i+\operatörsnamn {e} ^{iz}$ är exempel som är hela funktioner . Den andra är varken injektiv eller surjektiv.
• Om S är en självadjoint operator i ett Hilbert-utrymme och $f$ är en godtycklig vektor, då funktionen

$\langle (Sz)^{-1}f,f\rangle$

är en Nevanlinna-funktion.

• Om $M(z)$ och $N(z)$ båda är Nevanlinna-funktioner, då kompositionen M $\displaystyle M{\big (} N(z){\big )}}$ är också en Nevanlinna-funktion.

Allmän

•   Vadim Adamyan, red. (2009). Modern analys och tillämpningar . sid. 27. ISBN 3-7643-9918-X .
•   Naum Ilyich Akhiezer och IM Glazman (1993). Teori om linjära operatorer i Hilbertrymden . ISBN 0-486-67748-6 .
•   Marvin Rosenblum och James Rovnyak (1994). Ämnen i härdiga klasser och univalenta funktioner . ISBN 3-7643-5111-X .