Multivariat gammafunktion

Inom matematiken är den multivariata gammafunktionen Γ _p en generalisering av gammafunktionen . Det är användbart i multivariatstatistik , som visas i sannolikhetstäthetsfunktionen för Wishart- och invers Wishart-fördelningar , och matrisvariatbetafördelningen .

Den har två likvärdiga definitioner. En ges som följande integral över $p\times p$ positiv-definita reella matriser:

\Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}}(S)\right)\ ,\left|S\right|^{a-{\frac {p+1}{2}}}dS,

där $|S|$ anger determinanten för $S$ . Den andra, mer användbar för att få ett numeriskt resultat är:

\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2) .

I båda definitionerna är $a$ ett komplext tal vars reella del uppfyller $\Re (a)>(p-1)/2$ . Observera att $\Gamma _{1}(a)$ reduceras till den vanliga gammafunktionen. Den andra av definitionerna ovan gör det möjligt att direkt erhålla de rekursiva relationerna för $p\geq 2$ :

\Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2} })=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+(1-p)/2).

Således

$\Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)$
$\Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\ Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)$

och så vidare.

Detta kan också utökas till icke-heltalsvärden av $p$ med uttrycket:

$\ Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}{\frac {G(a+{\frac {1}{2}})G(a+1)}{G( a+{\frac {1-p}{2}})G(a+1-{\frac {p}{2}})}}$

Där G är Barnes G-funktion , den obestämda produkten av Gamma-funktionen .

Funktionen härleds av Anderson från första principer som också citerar tidigare arbeten av Wishart , Mahalanobis och andra.

Det finns också en version av den multivariata gammafunktionen som istället för ett enda komplext tal tar en $p$ -dimensionell vektor av komplexa tal som argument. Den generaliserar den ovan definierade multivariata gammafunktionen i den mån den senare erhålls genom ett särskilt val av multivariatargument av det förra.