Matrisvariabel betafördelning

I statistiken är matrisvariatbetafördelningen en generalisering av betafördelningen . Om $U$ är en $p\times p$ positiv definitiv matris med en matrisvariabel betafördelning, och $a,b>( p-1)/2$ är verkliga parametrar, vi skriver $U\sim B_{p}\left(a,b\right)$ (ibland $B_{p}^{I}\left(a,b\right)$ ). Sannolikhetstäthetsfunktionen för $U$ är :

$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/ 2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$

Matrisvariabel betafördelning

Notation	${\rm {B}}_{p}(a,b)$
Parametrar	$a,b$
Stöd	$p\times p$ matriser med både $U$ och $I_{p}-U$ positiv definitiv
PDF	$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/ 2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$
CDF	${}_{1}F_{1}\left(a;a+b;iZ\right)$

Här är $\beta _{p}\left(a,b\right)$ den multivariata betafunktionen:

$\beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}$

där $\Gamma _{p}\left(a\right)$ är den multivariata gammafunktionen som ges av

$\Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-( i-1)/2\right).$

Satser

Fördelning av matris invers

Om ${\displaystyle U\sim B_{p}(a,b)} så$ ges densiteten för ${\displaystyle X=U^{-1}} av$

${\frac {1}{\beta _{p} \left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2 }$

förutsatt att $X>I_{p}$ och $a,b>(p-1)/2$ .

Ortogonal transformation

Om $U\sim B_{p}(a,b)$ och $H$ är en konstant $p\times p$ ortogonal matris , sedan $HUH^{T}\sim B(a,b).$

Dessutom, om $H$ är en slumpmässig ortogonal $p\times p$ -matris som är oberoende av $U$ , då ${ \displaystyle HUH^{T}\sim B_{p}(a,b)}$ , distribuerad oberoende av $H$ .

Om $A$ är någon konstant $q\times p$ , $q\leq p$ matris av rang $q$ , då ${\ displaystyle AUA^{T}}$ har en generaliserad matrisvariat betafördelning, specifikt $AUA^{T}\sim GB_{q}\left (a,b;AA^{T},0\höger)$ .

Partitionerade matrisresultat

Om $U\sim B_{p}\left(a,b\right)$ och vi partitionerar $U$ som

$U={\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\U_{21}&U_{22}\end{bmatrix}}$

där $U_{11}$ är $p_{1}\times p_{1}$ och $U_{22}$ är ${\ displaystyle p_{2}\times p_{2}}$ , sedan definiera Schur-komplementet $U_{22\cdot 1}$ som $U_{ 22}-U_{21}{U_{11}}^{-1}U_{12}$ ger följande resultat:

• $U_{11}$ är oberoende av $U_{22\cdot 1}$
• $U_{11}\sim B_{p_{1}}\left(a,b\right)$
• $U_{22\cdot 1}\sim B_{p_{2}}\left(a-p_{1}/2,b \höger)$
• $U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}$ har en inverterad matrisvariations t-fördelning, närmare bestämt $U_{21}\mid U_{11},U_{22\cdot 1}\sim IT_{p_{2},p_{1}}\left(2b-p+1,0,I_{p_{ 2}}-U_{22\cdot 1},U_{11}(I_{p_{1}}-U_{11})\höger).$

Wishart resultat

Mitra bevisar följande teorem som illustrerar en användbar egenskap hos matrisvariantens betafördelning. Antag att $S_{1},S_{2}$ är oberoende Wishart $p\times p$ -matriser $S_{1}\sim W_{p}(n_{1},\Sigma ),S_{2}\sim W_{p}(n_{2},\Sigma )$ . Antag att $\Sigma$ är positiv definit och att $n_{1}+n_{2}\geq p$ . Om

$U=S^{-1/2}S_{1}\left(S^{-1/2}\right)^ {T},$

där $S=S_{1}+S_{2}$ , då har $U$ en matrisvariabel betafördelning $B_{p}(n_{1}/2,n_{2}/2)$ . I synnerhet $U$ oberoende av $\Sigma$ .

Se även

• Matrisvariation Dirichlet-fördelning

• AK Gupta och DK Nagar 1999. "Matrix variate distributions". Chapman och Hall.
• SK Mitra 1970. "A density-free approach to matrix variate beta distribution". The Indian Journal of Statistics, Series A , (1961-2002), volym 32, nummer 1 (mars 1970), s. 81-88.