Multiplikativ talteori
Multiplikativ talteori är ett delområde av analytisk talteori som handlar om primtal och med faktorisering och divisorer . Fokus ligger oftast på att ta fram ungefärliga formler för att räkna dessa objekt i olika sammanhang. Primtalssatsen är ett nyckelresultat i detta ämne . Matematikämnesklassificeringen för multiplikativ talteori är 11Nxx .
Omfattning
Multiplikativ talteori handlar främst om asymptotiska uppskattningar för aritmetiska funktioner . Historiskt har ämnet dominerats av primtalssatsen , först av försök att bevisa det och sedan av förbättringar i feltermen. Dirichlet- divisorproblemet som uppskattar medelordningen för divisorfunktionen d(n) och Gauss cirkelproblem som uppskattar medelordningen för antalet representationer av ett tal som summan av två kvadrater är också klassiska problem, och återigen är fokus på att förbättra feluppskattningarna.
Fördelningen av primtal mellan restklasser modulo ett heltal är ett område för aktiv forskning. Dirichlets sats om primtal i aritmetiska progressioner visar att det finns en oändlighet av primtal i varje co-prime-restklass, och primtalssatsen för aritmetiska progressioner visar att primtalen är asymptotiskt lika fördelade bland restklasserna. Bombieri –Vinogradov-satsen ger ett mer exakt mått på hur jämnt de är fördelade. Det finns också ett stort intresse för storleken på det minsta primtal i en aritmetisk progression; Linniks sats ger en uppskattning.
Tvillingprimtalsförmodan , nämligen att det finns en oändlighet av primtal p så att p +2 också är primtal , är föremål för aktiv forskning. Chens teorem visar att det finns en oändlighet av primtal p så att p +2 är antingen primtal eller produkten av två primtal.
Metoder
Metoderna tillhör i första hand analytisk talteori , men elementära metoder, särskilt siktmetoder , är också mycket viktiga. Den stora sållen och exponentialsummorna brukar betraktas som en del av multiplikativ talteorin.
Fördelningen av primtal är nära knuten till beteendet hos Riemann zeta-funktionen och Riemann-hypotesen , och dessa ämnen studeras både ur en talteoretisk synvinkel och en komplex analyssynpunkt .
Standardtexter
En stor del av analytisk talteori handlar om multiplikativa problem, och därför innehåller de flesta av dess texter avsnitt om multiplikativ talteori. Det här är några välkända texter som specifikt handlar om multiplikativa problem:
- Davenport, Harold (2000). Multiplikativ talteori (3:e upplagan). Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-95097-6 .
- Montgomery, Hugh ; Robert C. Vaughan (2005). Multiplikativ talteori I. Klassisk teori . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6 .