Moufang polygon

Inom matematiken är Moufang-polygoner en generalisering av Jacques Tits av Moufang-planen som studerats av Ruth Moufang , och är irreducerbara byggnader av rang två som medger rotgruppers verkan. I en bok om ämnet klassificerar Tits och Richard Weiss dem alla. En tidigare teorem, oberoende bevisad av Tits och Weiss, visade att en Moufang-polygon måste vara en generaliserad 3-gon, 4-gon, 6-gon eller 8-gon, så syftet med den tidigare nämnda boken var att analysera dessa fyra fall .

Definitioner

En generaliserad n -gon är en tvådelad graf med diameter n och omkrets 2 n .
En graf kallas tjock om alla hörn har valens på minst 3.
En rot av en generaliserad n -gon är en väg med längden n .
En lägenhet med en generaliserad n -gon är en cykel med längden 2 n .
Rotundergruppen för en rot är undergruppen av automorfismer i en graf som fixerar alla hörn som gränsar till en av rotens inre hörn.
En Moufang n -gon är en tjock generaliserad n -gon (med n >2) så att rotundergruppen för vilken rot som helst verkar transitivt på de lägenheter som innehåller roten.

Moufang 3-gons

En Moufang 3-gon kan identifieras med infallsgrafen för ett Moufang projektivt plan . I denna identifiering motsvarar planets punkter och linjer byggnadens hörn. Verkliga former av Lie-grupper ger upphov till exempel som är de tre huvudtyperna av Moufang 3-goner. Det finns fyra reella divisionsalgebror : de reella talen, de komplexa talen , kvaternionerna och oktonionerna , av dimensionerna 1,2,4 respektive 8. Det projektiva planet över en sådan delningsalgebra ger då upphov till en Moufang 3-gon.

Dessa projektiva plan motsvarar byggnaden fäst vid SL ₃ ( R ), SL ₃ ( C ), en reell form av A ₅ respektive en reell form av E _{6 .}

I det första diagrammet ^{[ behövde förtydligande vilket diagram? ]} de inringade noderna representerar 1-rum och 2-rum i ett tredimensionellt vektorrum. I det andra diagrammet ^{[ behövde förtydligande vilket diagram? ]} representerar de inringade noderna 1-rum och 2-rum i ett 3-dimensionellt vektorrum över quaternionerna, som i sin tur representerar vissa 2-rum och 4-rum i ett 6-dimensionellt komplext vektorrum, uttryckt av de inringade noderna i A _5- diagrammet. Det fjärde fallet - en form av E ₆ - är exceptionellt, och dess analog för Moufang 4-gons är ett viktigt inslag i Weiss bok.

Om man går från de reella talen till ett godtyckligt fält kan Moufang 3-goner delas in i tre fall enligt ovan. Det delade fallet i det första diagrammet finns över vilket fält som helst. Det andra fallet sträcker sig till alla associativa, icke-kommutativa divisionsalgebror; över realerna är dessa begränsade till algebra av kvaternioner, som har grad 2 (och dimension 4), men vissa fält tillåter centrala divisionsalgebror av andra grader. Det tredje fallet involverar "alternativa" divisionsalgebror (som uppfyller en försvagad form av den associativa lagen), och ett teorem av Richard Bruck och Erwin Kleinfeld visar att dessa är Cayley-Dickson algebror. Detta avslutar diskussionen om Moufang 3-gons.

Moufang 4-gons

Moufang 4-gons kallas även Moufang-fyrkanter. Klassificeringen av Moufang 4-gons var den svåraste av alla, och när Tits och Weiss började skriva upp den uppstod en hittills obemärkt typ, som uppstod från grupper av typ F4. De kan delas in i tre klasser:

(i) De som härrör från klassiska grupper.
(ii) De som härrör från "blandade grupper" (där det finns två imperfekta fält med karakteristik 2, K och L, med K2 ⊂ L ⊂ K).
(iii) De som härrör från fyrkantiga algebror.

Det finns en viss överlappning här, i den meningen att vissa klassiska grupper som härrör från pseudo-kvadratiska rum kan erhållas från fyrkantiga algebror (som Weiss kallar speciella), men det finns andra, icke-speciella. De viktigaste av dessa kommer från algebraiska grupper av typerna E6, E7 och E8. De är k-former av algebraiska grupper som tillhör följande diagram: E6 E7 E8. E6 existerar över de reella talen, även om E7 och E8 inte gör det. Weiss kallar de fyrkantiga algebrorna i alla dessa fall Weiss för reguljära, men inte speciella. Det finns ytterligare en typ som han kallar defekt som härrör från grupper av typ F4. Dessa är de mest exotiska av alla – de involverar rent oskiljaktiga fältförlängningar i egenskap 2 – och Weiss upptäckte dem först under det gemensamma arbetet med Tits om klassificeringen av Moufang 4-goner genom att undersöka en märklig lucka som inte borde ha existerat men gjorde det.

Klassificeringen av Moufang 4-gons av Tits och Weiss är relaterad till deras spännande monografi på två sätt. Den ena är att användningen av fyrkantiga algebror genvägar några av de metoder som är kända tidigare. Den andra är att konceptet är en analog till oktonionalgebror och kvadratiska Jordandivisionsalgebror av grad 3, som ger upphov till Moufang 3-goner och 6-goner.

Faktum är att alla exceptionella Moufang-plan, fyrkanter och hexagoner som inte härrör från "blandade grupper" (av karakteristika 2 för fyrkanter eller karakteristika 3 för hexagoner) kommer från oktonioner, fyrkantiga algebror eller Jordanalgebror .

Moufang 6-gons

Moufang 6-goner kallas även Moufang hexagoner. En klassificering av Moufang 6-goner angavs av Tits, även om detaljerna förblev obevisade tills det gemensamma arbetet med Weiss om Moufang Polygons.

Moufang 8-gons

Moufang 8-gons kallas även Moufang oktagoner. De klassificerades av Tits, där han visade att de alla härstammar från Ree-grupper av typ ² F ₄ .

Fyrkantiga algebror

En potentiell användning för fyrkantiga algebror är att analysera två öppna frågor. Den ena är Kneser-Tits-förmodan som avser hela gruppen av linjära transformationer av en byggnad (t.ex. GL _n ) som räknas ut av undergruppen som genereras av rotgrupper (t.ex. SL _n ).

Gissningen är bevisad för alla Moufang-byggnader utom 6-gonerna och 4-gonerna av typ E8, i vilket fall gruppen av linjära transformationer antas vara lika med undergruppen som genereras av rotgrupper. För E8-hexagonerna kan detta omformuleras som en fråga om kvadratiska Jordanalgebror, och för E8-fyrkanterna kan det nu omformuleras i termer av fyrkantiga algebror.

En annan öppen fråga om E8-fyrkanten gäller fält som är kompletta med avseende på en diskret värdering: finns det i sådana fall en affin byggnad som ger fyrkanten som dess struktur i oändligheten?

Se även

Anteckningar och referenser

Vidare läsning

Tits, Jacques (1966). "Klassificering av algebraiska semisimpla grupper". I Borel, Armand; Mostow, George D. (red.). Algebraiska grupper och diskontinuerliga undergrupper . Symposier i ren matematik. Vol. 9. American Mathematical Society. s. 33–62. ISBN 0821814095 . OCLC 869830680 .