Mixed Hodge-modul

I matematik är blandade Hodge-moduler kulmen på Hodge-teorin , blandade Hodge-strukturer , korsningskohomologi och nedbrytningssatsen som ger ett sammanhängande ramverk för att diskutera variationer av degenererande blandade Hodge-strukturer genom sex-funktionsformalismen . Dessa objekt är i huvudsak ett par av en filtrerad D-modul $(M,F^{\bullet })$ tillsammans med en pervers bunt ${\mathcal {F}}$ så att funktorn från Riemann–Hilbert-korrespondensen skickar $(M,F^{\bullet })$ till ${\mathcal {F}}$ . Detta gör det möjligt att konstruera en Hodge-struktur på korsningskohomologi, ett av nyckelproblemen när ämnet upptäcktes. Detta löstes av Morihiko Saito som hittade ett sätt att använda filtreringen på en koherent D-modul som en analog till Hodge-filtreringen för en Hodge-struktur. Detta gjorde det möjligt att ge en Hodge-struktur på en korsningskohomologikärva, de enkla objekten i den abelianska kategorin av perversa kärvar.

Abstrakt struktur

Innan vi går in på de grova detaljerna för att definiera Mixed Hodge-moduler, vilket är ganska komplicerat, är det användbart att få en känsla av vad kategorin Mixed Hodge-moduler faktiskt ger. Givet en komplex algebraisk variant $X$ finns det en abelsk kategori ${\textbf {MHM}}(X)$ ^{pg 339} med följande funktionella egenskaper

Det finns en trogen funktionsråtta $\displaystyle {\text{råtta}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM} }(X)\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )}$ kallas rationaliseringsfunktionen. Detta ger den underliggande rationella perversa bunten av en blandad Hodge-modul.
Det finns en trogen funktion ${\text{Dmod}}_{X}:D^{b}{\textbf {MHM} }(X)\to D_{coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})$ skickar en blandad Hodge-modul till dess underliggande D-modul
Dessa funktioner uppför sig bra med avseende på Riemann-Hilbert-korrespondensen $\displaystyle DR_{X}:D_{Coh}^{$ M $finns$ en isomorfism $\alpha :{\text{råtta}}_{X}(M)\otimes \mathbb {C} \xrightarrow {\sim } {\text{DR}}_{X}({\text{Dmod}}_{X}(M))$ .

Dessutom finns det följande kategoriska egenskaper

Kategorin för blandade Hodge-moduler över en punkt är isomorf till kategorin Mixed Hodge-strukturer, ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text {MHS}}$
Varje objekt $M$ i ${\textbf {MHM}}(X)$ tillåter en viktfiltrering $W$ så att varje morfism i ${ \textbf {MHM}}(X)$ bevarar viktfiltreringen strikt, de tillhörande graderade objekten ${\text{Gr}}_{k}^{W}(M)$ är semi -enkel, och i kategorin blandade Hodge-moduler över en punkt, motsvarar detta viktfiltreringen av en Mixed Hodge-struktur.
Det finns en dualiseringsfunktion $\mathbb {D} _{X}$ som lyfter Verdiers dualiseringsfunktion i $D_{cs}^{b}(X;\ mathbb {Q} )$ som är en involution på ${\textbf {MHM}}(X)$ .

För en morfism $f:X\to Y$ av algebraiska varianter, de associerade sex funktorerna på $D^{b}{\textbf {MHM}}(X )$ och $D^{b}{\textbf {MHM}}(Y)$ har följande egenskaper

$f_{!},f^{*}$ öka inte vikten av en komplex $M^{\bullet }$ av blandade Hodge-moduler.
$f^{!},f_{*}$ minska inte vikten av en komplex $M^{\bullet }$ av blandade Hodge-moduler.

Relation mellan härledda kategorier

Den härledda kategorin av blandade Hodge-moduler $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ är intimt relaterad till den härledda kategorin av konstruerbara skivor $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )\cong D^{b}({\text{Perv}}(X; \mathbb {Q} ))$ ekvivalent med den härledda kategorin av perversa skivor. Detta beror på hur rationaliseringsfunktionen är kompatibel med kohomologin $H^{k}$ i en komplex $M^{\bullet }$ av blandade Hodge-moduler. När man tar rationaliseringen finns det en isomorfism

${\text{råtta}}_{X}(H^{k}(M^{\bullet }) )={\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{råtta}}_{X}(M^{\bullet }))$

för den mellersta perversiteten $\mathbb {p}$ . Notera $\mathbf {p} (2k)=-k$ ³¹⁰ detta är funktionen $\mathbf {p} :2\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ skickar , vilket skiljer sig från fallet med pseudomanifolds där perversiteten är en funktion $\mathbb {p} :[2,n]\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ där $\mathbf {p} (2k)=\mathbf {p} (2k- 1)=k-1$ . Kom ihåg att detta definieras som att ta sammansättningen av perversa trunkationer med skiftfunktion, så ^{sid 341}

${\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{ k}({\text{råtta}}_{X}(M^{\bullet }))={\text{}}^{\mathbf {p} }\tau _{\leq 0}{\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\geq 0}({\text{råtta}}_{X}(M^{\bullet })[+k])$

Denna typ av inställning återspeglas också i de härledda push- och pull-funktionerna $f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}$ och med närliggande och försvinnande cykler $\psi _{f},\ phi _{f}$ , tar rationaliseringsfunktorn dessa till sina analoga perversa funktorer på den härledda kategorin av perversa skivor.

Tate-moduler och kohomologi

Här betecknar vi den kanoniska projektionen till en punkt med $p:X\to \{pt\}$ . En av de första tillgängliga Hodge-modulerna är vikten 0 Tate-objektet, betecknat ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ som definieras som tillbakadragning av dess motsvarande objekt i ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})} ,$ så

${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}=p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg}$

Den har vikt noll, så $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ motsvarar vikten 0 Tate-objekt $\mathbb {Q} (0)$ i kategorin mixed Hodge strukturer. Detta objekt är användbart eftersom det kan användas för att beräkna de olika kohomologierna för $X$ genom sexfunktionsformalismen och ge dem en blandad Hodge-struktur. Dessa kan sammanfattas med tabellen

${\begin{matrix}H^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{*}p^{* }\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{c}^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^ {*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{ !}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}^{BM}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!} p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\end{matris}}$

Dessutom, givet en sluten inbäddning $i:Z\to X$ finns den lokala kohomologigruppen

$H_{Z}^{k}(X;\mathbb {Q}) =H^{k}(\{pt\},p_{*}i_{*}i^{!}{\underline {\mathbb {Q}}}_{X}^{Hdg})$

Variationer av Mixed Hodge-strukturer

För en morfism av sorter $f:X\to Y$ framskjutskartorna $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_ {X}^{Hdg}$ och $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ ger degenererande variationer av blandade Hodge-strukturer på $Y$ . För att bättre förstå dessa variationer krävs nedbrytningssatsen och korsningskohomologin.

Korsningskohomologi

En av de definierande särdragen i kategorin blandade Hodge-moduler är det faktum att intersection cohomology kan formuleras på dess språk. Detta gör det möjligt att använda nedbrytningssatsen för kartor $f:X\to Y$ av sorter. För att definiera skärningskomplexet, låt $j:U\hookrightarrow X$ vara den öppna jämna delen av en variant $X$ . Då kan skärningskomplexet för $X$ definieras som

$IC_{X}^{\bullet }\mathbb {Q} ^{Hdg}:=j_{!*}{\underline {\mathbb {Q} }} _{U}^{Hdg}[d_{X}]$

var

$j_{!*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})= \operatorname {Bild} [j_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})\to j_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_ {U}^{Hdg})]$