Mikrobunt

Inom matematiken är en mikrobunt en generalisering av begreppet vektorbunt , som introducerades av den amerikanske matematikern John Milnor 1964. Det tillåter skapandet av buntliknande objekt i situationer där de vanligtvis inte skulle tros existera. Till exempel definieras tangentknippet för ett jämnt grenrör men inte ett topologiskt grenrör ; användning av mikrobuntar tillåter definitionen av en topologisk tangentbunt.

Definition

En (topologisk) $n$ -mikrobunt över ett topologiskt utrymme $B$ ("basutrymmet") består av en trippel $(E,i,p)$ , där $E$ är ett topologiskt utrymme ("det totala utrymmet"), $i:B\to E$ och $p:E\to B$ är kontinuerliga kartor (respektive "nollsektionen" och "projektionskartan") så att:

1. kompositionen $p\circ i$ är identiteten för $B$ ;
2. för varje $b\in B$ finns det en stadsdel $U\subseteq B$ av $b$ och en stadsdel $V\subseteq E$ av $i(b)$ så att $i(U)\subseteq V$ , $p(V)\subseteq U$ , $V$ är homeomorf till $U\times \mathbb {R} ^{n}$ och kartorna $p_{\mid V}: V\to U$ och $i_{\mid U}:U\to V$ pendlar med $\mathrm {pr} _{ 1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U$ och $U\to U\times \mathbb {R} ^{n },x\mapsto (x,0)$ .

I analogi med vektorbuntar kallas heltal ${\displaystyle n\geq 0} också$ mikrobuntens rang eller fiberdimension. Notera på samma sätt att det första villkoret antyder att $i$ bör ses som nollsektionen av en vektorbunt, medan den andra härmar det lokala trivialitetsvillkoret på en bunt. En viktig distinktion här är att "lokal trivialitet" för mikrobuntar bara gäller nära ett område av nollsektionen. Utrymmet $E$ kan se väldigt vild ut från det området. Dessutom kan kartorna som limmar ihop lokala triviala fläckar av mikrobunten bara överlappa fibrerna.

Definitionen av mikrobunt kan anpassas till andra kategorier som är mer generella än den släta , såsom den för bitvis linjära grenrör , genom att ersätta topologiska utrymmen och kontinuerliga kartor med lämpliga objekt och morfismer.

Exempel

• Varje vektorbunt $p:E\to B$ av rang $n$ har en uppenbar underliggande $n$ -microbundle , där $i$ är nollsektionen .
• Givet ett topologiskt utrymme $B$ , den kartesiska produkten ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}} ($ tillsammans med projektionen på $B$ och kartan $x\mapsto (x,0)$ ) definierar ett $n$ -mikropaket, kallat det vanliga triviala mikropaketet av rang $n$ . På motsvarande sätt är det den underliggande mikrobunten av triviala vektorbunten av rang $n$ .
• Givet en topologisk mångfald av dimension $n$ , den kartesiska produkten $M\times M$ tillsammans med projektionen på den första komponenten och diagonalkartan Δ $\displaystyle \ Delta :M\to M\times M}$ definierar ett $n$ -mikropaket, kallat tangentmikropaketet för $M$ .
• Givet ett $n$ -mikropaket $(E,i,p)$ över $B$ och en kontinuerlig karta $f:A \till B$ , mellanrummet $f^{*}E:=\{(a,e )\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}$ definierar en $n$ -mikrobunt över $A$ , kallad pullback (eller inducerad) mikrobunt av ${ \displaystyle f}$ , tillsammans med projektionen $p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A$ och nollan avsnitt $i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f) (x))$ . Om $p:E\to B$ är en vektorbunt, är pullback-mikrobunten för dess underliggande mikrobunt exakt den underliggande mikrobunten av standard pullback-bunten .
• Givet ett $n$ -mikropaket $(E,i,p)$ över $B$ och ett delrum $A\subseteq B$ , det begränsade mikropaketet , även betecknat med ${\displaystyle E_{\mid A}=p^{-1}(A)} ,$ är tillbakadraget mikropaket med avseende på inkluderingen $A\hookrightarrow B$ .

Morfismer

Två $n$ -mikrobuntar $(E_{1},i_{1},p_{1})$ och $(E_{2},i_{2},p_{2})$ över samma utrymme $B$ är isomorfa (eller motsvarande) om det finns en grannskap $V_ {1}\subseteq E_{1}$ av $i_{1}(B)$ och en stadsdel $V_{2}\subseteq E_{2}$ av $i_{2}(B)$ , tillsammans med en homeomorfism $V_{1}\cong V_{2}$ som pendlar med projektionerna och nollsektionerna.

Mer generellt består en morfism mellan mikrobuntar av en grodd av kontinuerliga kartor $V_{1}\to V_{2}$ mellan områden av nollsektionerna enligt ovan.

Ett $n$ -mikropaket kallas trivialt om det är isomorft till standard triviala mikropaket av rang $n$ . Det lokala trivialitetsvillkoret i definitionen av mikrobunt kan därför räknas om enligt följande: för varje $b\in B$ finns det en grannskap $U\subseteq B$ så att begränsningen $E_{\mid U}$ är trivialt.

Analogt med parallelliserbara släta grenrör kallas ett topologiskt grenrör topologiskt parallelliserbart om dess tangentmikrobunt är trivialt.

Egenskaper

Ett teorem av James Kister och Barry Mazur säger att det finns ett område av nollsektionen som faktiskt är ett fiberknippe med fiber $\mathbb {R} ^{n}$ och strukturgruppen $\operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)$ , gruppen av homeomorfismer av $\mathbb {R} ^{n}$ som fixerar ursprunget. Denna stadsdel är unik upp till isotopi . Således kan varje mikrobunt förädlas till ett faktiskt fiberknippe på ett väsentligen unikt sätt.

Om man tar fiberknippet som finns i tangentmikroknippet $(M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )$ ger det topologiska tangentknippet . Intuitivt erhålls denna bunt genom att ta ett system av små diagram för $M$ , låta varje diagram $U$ ha en fiber $U$ över varje punkt i diagrammet, och limma dessa triviala buntar ihop genom att överlappa fibrerna enligt övergångskartorna.

Mikrobuntsteori är en integrerad del av Robion Kirbys och Laurent C. Siebenmanns arbete med släta strukturer och PL-strukturer på högre dimensionella grenrör.

•   Gauld, David; Greenwood, Sina (2000). "Mikrobuntar, grenrör och mätbarhet" . Proceedings of the American Mathematical Society . 128 (9): 2801–2808. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . MR 1664358 .
•    Switzer, Robert M. (2002). Algebraisk topologi—homotopi och homologi . Klassiker i matematik. Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-42750-6 . MR 1886843 . Se kapitel 14.

externa länkar

• Mikrobunt vid Manifold Atlas.