Metriskt galler

Exempel på värderingsfunktion på kubgittret som gör det till ett metriskt gitter.

I den matematiska studien av ordning är ett metriskt gitter L ett gitter som tillåter en positiv värdering : en funktion v ∈ L →ℝ som uppfyller, för alla a , b ∈ L ,

$$v(a)+v(b)=v(a\wedge b)+v(a\vee b) )$$

och

$${a>b}\Rightarrow v(a)>v(b){\text{.}}$$

Relation till andra föreställningar

Ett gitter som innehåller N5 (avbildat) kan inte vara ett metriskt, eftersom v ( d )+ v ( c ) = v ( e )+ v ( a ) = v ( b )+ v ( c ) innebär v ( d ) = v ( b ), motsäger v ( d ) < v ( b ).

En boolesk algebra är ett metriskt gitter; varje ändligt additiv mått på sin Stone dual ger en värdering.

Varje metriskt gitter är ett modulärt gitter , se nedre bilden. Det är också ett metriskt utrymme , med avståndsfunktion ges av

$$d(x,y)=v(x\vee y)-v(x\wedge y){\text{.}}$$

Med det måttet är sammanfogningen och möts likformigt kontinuerliga sammandragningar och sträcker sig så till den metriska kompletteringen (metriska utrymmet) . Det gallret är vanligtvis inte Dedekind-MacNeille-kompletteringen , men det är villkorligt komplett .

Ansökningar

I studiet av fuzzy logik och intervallaritmetik är utrymmet för enhetliga fördelningar ett metriskt gitter. Metriska gitter är också nyckeln till von Neumanns konstruktion av den kontinuerliga projektiva geometrin . En funktion uppfyller den endimensionella vågekvationen om och endast om den är en värdering för gittret av rumtidskoordinater med den naturliga partiella ordningen. Ett liknande resultat bör gälla för alla partiella differentialekvationer som kan lösas med metoden för egenskaper , men nyckeldrag i teorin saknas.