Dieudonné determinant

Inom linjär algebra är Dieudonné -determinanten en generalisering av en matris determinant till matriser över divisionsringar och lokala ringar . Den introducerades av Dieudonné ( 1943 ).

Om K är en divisionsring, så är Dieudonné-determinanten en homomorfism av grupper från gruppen GL _n ( K ) av inverterbara n gånger n matriser över K till abelianiseringen K ^× /[ K ^× , K ^× ] av den multiplikativa gruppen K ^× av K .

Till exempel är Dieudonné-determinanten för en 2-av-2-matris restklassen, i K ^× /[ K ^× , K ^× ], av

$\det \left({\begin{array}{*{20}c}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{*{20} c}-cb&{\text{if }}a=0\\ad-aca^{-1}b&{\text{if }}a\neq 0\end{array}}\right..$

Egenskaper

Låt R vara en lokal ring. Det finns en determinantkarta från matrisringen GL( R ) till den abelianiserade enhetsgruppen R ^× _ab med följande egenskaper:

• Determinanten är invariant under elementära radoperationer
• Identitetens avgörande är 1
• Om en rad lämnas multiplicerad med a i R ^× så lämnas determinanten multiplicerad med a
• Determinanten är multiplikativ: det( AB ) = det( A )det( B )
• Om två rader byts ut multipliceras determinanten med −1
• Om R är kommutativ är determinanten invariant under transponering

Tannaka-Artin problem

Antag att K är ändlig över sitt centrum F . Den reducerade normen ger en homomorfism N _n från GL _n ( K ) till F ^× . Vi har också en homomorfism från GL _n ( K ) till F ^× erhållen genom att komponera Dieudonné-determinanten från GL _n ( K ) till K ^× /[ K ^{× ,} K ^× ] med den reducerade normen N ₁ från GL ₁ ( K ) = K ^× till F ^× via abelianiseringen.

Tannaka -Artin-problemet är om dessa två kartor har samma kärna SL _n ( K ). Detta är sant när F är lokalt kompakt men falskt i allmänhet.

Se även

• Moore determinant över en divisionsalgebra

•     Dieudonné, Jean (1943), "Les Déterminants Sur Un Corps Non Commutatif", Bulletin de la Société Mathématique de France , 71 : 27–45, doi : 10.24033/BSMF.1345 , ISSN 0037-9484 , MR 00122 , ZBL 003.300.3303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303030303 .
•     Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraisk K-teori och dess tillämpningar , Graduate Texts in Mathematics, vol. 147, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3 , MR 1282290 , Zbl 0801.19001 . Errata
•    Serre, Jean-Pierre (2003), Trees , Springer, sid. 74, ISBN 3-540-44237-5 , Zbl 1013.20001
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "Determinant" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press