Malmquists teorem

I matematik är Malmquists sats namnet på någon av de tre satser som bevisats av Axel Johannes Malmquist ( 1913 , 1920 , 1941 ) . Dessa satser begränsar formerna av första ordningens algebraiska differentialekvationer som har transcendentala meromorfa eller algebroida lösningar.

Uttalande av satserna

Sats (1913). Om differentialekvationen

${\frac {dw}{dz}}=R(z,w)$

där R ( z , w ) är en rationell funktion , har en transcendental meromorf lösning, då är R ett polynom med högst grad 2 med avseende på w ; med andra ord är differentialekvationen en Riccati-ekvation , eller linjär.

Sats (1920). Om en irreducerbar differentialekvation

$F\left({\frac {dw}{dz}},w,z\right)=0$

där F är ett polynom, har en transcendental meromorf lösning, då har ekvationen inga rörliga singulariteter . Dessutom kan det algebraiskt reduceras antingen till en Riccati-ekvation eller till

$\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}=a(z)P(z ,w),$

där P är ett polynom med grad 3 med avseende på w .

Teorem (1941). Om en irreducerbar differentialekvation

$F\left({\frac {dw}{dz}},w,z\right)=0,$

där F är ett polynom, har en transcendental algebroid lösning, då kan den reduceras algebraiskt till en ekvation som inte har några rörliga singulariteter.

A. Eremenkos (1982) uppsats.

• Malmquist, J. (1913), "Sur les fonctions à un nombre fini de branches définies par les équations différentielles du premier ordre", Acta Mathematica , 36 (1): 297–343, doi : 10.1007/BF02422385
• Malmquist, J. (1920), "Sur les fonctions à un nombre fini de branches satisfaisant à une équation différentielle du premier ordre", Acta Mathematica , 42 (1): 317–325, doi : 10.1007/BF02404413
•   Malmquist, J. (1941), "Sur les fonctions à un nombre fini de branches satisfaisant à une équation différentielle du premier ordre", Acta Mathematica , 74 (1): 175–196, doi : 10.1007/BF023922500 , 9MR 74000 5 , 94000
•    Eremenko, A. (1982), "Meromorphic solutions of algebraic differential equations", Russian Mathematical Surveys , 37 (4): 61–95, Bibcode : 1982RuMaS..37 ...61E , doi : 10.1070 / rm1070/rm3702n 6be MR 3702 4v 3702 4v 3702 7a 3702 4v3702 7a 7974 , S2CID 250879409