Magnetrotationsinstabilitet

Magnetrotationsinstabiliteten (MRI) är en vätskeinstabilitet som gör att en ackretionsskiva som kretsar kring ett massivt centralt föremål blir turbulent . Det uppstår när vinkelhastigheten för en ledande vätska i ett magnetfält minskar när avståndet från rotationscentrum ökar. Det är också känt som Velikhov-Chandrasekhar-instabiliteten eller Balbus-Hawley-instabiliteten i litteraturen, inte att förväxla med den elektrotermiska Velikhov-instabiliteten . MRT är av särskild relevans inom astrofysik där det är en viktig del av dynamiken i accretion diskar .

Gaser eller vätskor som innehåller mobila elektriska laddningar utsätts för påverkan av ett magnetfält. Förutom hydrodynamiska krafter som tryck och gravitation känner ett element av magnetiserad vätska även Lorentzkraften J $\displaystyle {\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ ,}$ där ${ \displaystyle {\boldsymbol {J}}}$ är strömtätheten och ${\boldsymbol {B}}$ är magnetfältsvektorn. Om vätskan är i ett tillstånd av differentiell rotation kring ett fast utgångsläge kan denna Lorentz-kraft vara förvånansvärt störande, även om magnetfältet är mycket svagt. Speciellt om vinkelhastigheten för rotation $\Omega$ minskar med det radiella avståndet $R\ ,$ är rörelsen instabil: ett flytande element som genomgår en liten förskjutning från cirkulär rörelse upplever en destabiliserande kraft som ökar i en takt som i sig är proportionell mot förskjutningen. Denna process är känd som Magnetorotational Instability , eller "MRI".

I astrofysiska miljöer är differentiellt roterande system mycket vanliga och magnetfält är allestädes närvarande. Särskilt tunna skivor av gas finns ofta runt bildande stjärnor eller i binära stjärnsystem , där de är kända som ansamlingsskivor. Accretionskivor är också vanligt närvarande i mitten av galaxer, och i vissa fall kan de vara extremt lysande: kvasarer , till exempel, tros härröra från en gasformig skiva som omger ett mycket massivt svart hål . Vår moderna förståelse av MRI uppstod från försök att förstå beteendet hos accretion diskar i närvaro av magnetiska fält; det är nu underförstått att MRI sannolikt kommer att förekomma i en stor mängd olika system.

Historia

MRT märktes först i ett icke-astrofysiskt sammanhang av Evgeny Velikhov 1959 när man övervägde stabiliteten hos Couette-flödet av en idealisk hydromagnetisk vätska. Hans resultat generaliserades senare av Subrahmanyan Chandrasekhar 1960. Denna mekanism föreslogs av DJ Acheson och Raymond Hide (1973) för att kanske spela en roll i samband med jordens geodynamoproblem. Även om det fanns en del uppföljningsarbete under senare decennier (Fricke, 1969; Acheson and Hide 1972; Acheson och Gibbons 1978), insåg man inte instabilitetens generella karaktär och kraft till fullo förrän 1991, när Steven A. Balbus och John F. Hawley gav en relativt enkel förklaring och fysisk förklaring av denna viktiga process.

Vad orsakar MRI?

En enkel modell av MRI

I en magnetiserad, perfekt ledande vätska beter sig de magnetiska krafterna i några mycket viktiga avseenden som om vätskeelementen var förbundna med elastiska band: att försöka förskjuta ett sådant element vinkelrätt mot en magnetisk kraftlinje orsakar en attraktionskraft som är proportionell mot förskjutningen , som en fjäder under spänning. Normalt är en sådan kraft återställande, en starkt stabiliserande inverkan som skulle tillåta en typ av magnetisk våg att fortplanta sig. Om det flytande mediet inte är stationärt utan roterar, kan dock attraktionskrafter faktiskt vara destabiliserande. MRT är en följd av detta överraskande beteende.

Betrakta till exempel två massor, m _i ("inre") och m _o ("yttre") förbundna med en fjäder under spänning, båda massorna i omloppsbana runt en central kropp, M _c . I ett sådant system är vinkelhastigheten för cirkulära banor nära centrum större än vinkelhastigheten för banor längre från centrum, men vinkelmomentet för de inre banorna är mindre än de yttre banornas. Om m _i tillåts kretsa en liten bit närmare centrum än m _o , kommer den att ha en något högre vinkelhastighet. Anslutningsfjädern kommer att dra tillbaka på m _i och dra m _o framåt. Detta innebär att m _i upplever ett retarderande vridmoment, tappar rörelsemängd och måste falla inåt till en bana med mindre radie, motsvarande en mindre rörelsemängd. m _o , å andra sidan, upplever ett positivt vridmoment, får mer vinkelmoment och rör sig utåt till en högre bana. Fjädern sträcker sig ännu mer, vridmomenten blir ännu större och rörelsen är instabil! Eftersom magnetiska krafter fungerar som en fjäder under spänning som förbinder vätskeelement, är beteendet hos en magnetiserad vätska nästan exakt analogt med detta enkla mekaniska system. Detta är kärnan i MRI.

En mer detaljerad förklaring

För att se detta instabila beteende mer kvantitativt, överväg rörelseekvationerna för en flytande elementmassa i cirkulär rörelse med en vinkelhastighet $\Omega \ .$ I allmänhet kommer $\Omega$ att vara en funktion av avståndet från rotationsaxeln $R\ ,$ och vi antar att omloppsradien är $r=R_{0}\ .$ Centripetalaccelerationen som krävs för att hålla massan i omloppsbana är $-R\Omega ^{2}(R)$ ; minustecknet indikerar en riktning mot mitten. Om denna kraft är gravitationen från en punktmassa i mitten så är centripetalaccelerationen helt enkelt $-GM/R^{2},$ där ${\displaystyle G$ är gravitationskonstanten och $M$ är den centrala massan. Låt oss nu betrakta små avvikelser från den cirkulära rörelsen hos det kretsande masselementet som orsakas av någon störande kraft. Vi omvandlar variabler till en roterande ram som rör sig med det kretsande masselementet vid vinkelhastighet $\Omega (R_{0})=\Omega _{0}\ ,$ med origo lokaliserat vid det opåverkade , kretsande plats för masselementet. Som vanligt när vi arbetar i en roterande ram måste vi lägga till en Corioliskraft $-2{\boldsymbol {\Omega }}_{0}\times {\boldsymbol {v till rörelseekvationerna }}$ plus en centrifugalkraft $R\Omega _{0}^{2}\ .$ Hastigheten $v$ är hastigheten mätt i den roterande ramen. Dessutom begränsar vi vår uppmärksamhet till ett litet område nära $R_{0}\ ,$ säg $R_{0}+x\ ,$ med $x$ mycket mindre än $R_{0}\ .$ Då är summan av centrifugal- och centripetalkrafterna

$R[\Omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}(R_{0}+ x)]\simeq -xR{d\Omega ^{2} \över dR}$

 

 

 

 

()

till linjär ordning i $x\ .$ Med vår $x$ -axel pekande radiellt utåt från den opåverkade platsen för vätskeelementet och vår $y$ -axel pekar i riktningen för den ökande azimutvinkeln (riktningen för den ostörda bana), $x$ och $y$ rörelseekvationerna för en liten avvikelse från en cirkulär bana $R=R_{0}$ är:

${\ddot {x}}-2\Omega _{0}{\dot {y}}=-xR{d\ Omega ^{2} \over dR}+f_{x}$

 

 

 

 

()

${\ddot {y}}+2\Omega _{0}{\dot {x}}=f_{y}$

 

 

 

 

()

där $f_{x}$ och $f_{y}$ är krafterna per massenhet i riktningarna $x$ och $y$ , och en punkt anger en tidsderivata (dvs ${\dot {x}}$ är $x$ -hastigheten, ${\ddot {x}}$ är $x$ -accelerationen , etc.). Förutsatt att $f_{x}$ och $f_{y}$ är antingen 0 eller linjära i x och y, är detta ett system av kopplade andra ordningens linjära differentialekvationer som kan lösas analytiskt . I frånvaro av yttre krafter, $f_{x}=0$ och $f_{y}=0$ , har rörelseekvationerna lösningar med tidsberoendet $e^{i\omega t}\ ,$ där vinkelfrekvensen $\omega$ uppfyller ekvationen

$\omega ^{2}=4\Omega _{0}^{2}+R{d\Omega ^{2} \över dR }\equiv \kappa ^{2}$

 

 

 

 

()

där $\kappa ^{2}$ är känd som den epicykliska frekvensen . I vårt solsystem, till exempel, uppträder avvikelser från en solcentrerad cirkulär bana som är välbekanta ellipser när de ses av en extern betraktare i vila, istället som små radiella och azimutala svängningar av det kretsande elementet när de ses av en observatör som rör sig med det ostörda cirkulär rörelse. Dessa svängningar spårar ut en liten retrograd ellips (dvs. roterande i motsatt riktning av den stora cirkulära omloppsbanan), centrerad på masselementets ostörda omloppsbana.

Den epicykliska frekvensen kan på motsvarande sätt skrivas $(1/R^{3})(dR^{4}\Omega ^{2}/dR )\ ,$ som visar att den är proportionell mot den radiella derivatan av rörelsemängden per massenhet, eller specifik rörelsemängd. Det specifika vinkelmomentet måste öka utåt om stabila epicykliska oscillationer ska existera, annars skulle förskjutningar växa exponentiellt, motsvarande instabilitet. Detta är ett mycket allmänt resultat känt som Rayleigh-kriteriet (Chandrasekhar 1961) för stabilitet. För banor runt en punktmassa är den specifika rörelsemängden proportionell mot $R^{1/2}\ ,$ så Rayleigh-kriteriet är väl uppfyllt.

Betrakta härnäst lösningarna till rörelseekvationerna om masselementet utsätts för en extern återställande kraft, $f_{x}=-Kx\ ,$$f_{y}=-Ky$ där $K$ är en godtycklig konstant ("fjäderkonstanten"). Om vi ​​nu söker lösningar för de modala förskjutningarna i $x$ och $y$ med tidsberoende $e^{i\omega t}\ ,$ hittar vi mycket mer komplex ekvation för $\omega \ :$

$\omega ^{4}-(2K+\kappa ^{2})\omega ^{2 }+K(K+Rd\Omega ^{2}/dR)=0$

 

 

 

 

()

Även om fjädern utövar en attraktionskraft kan den destabiliseras. Till exempel, om fjäderkonstanten $K$ är tillräckligt svag, kommer den dominerande balansen att vara mellan de två sista termerna på vänster sida av ekvationen. Då kommer en minskande utåtgående vinkelhastighetsprofil att ge negativa värden för $\omega ^{2}\ ,$ och både positiva och negativa imaginära värden för $\omega \ .$ Den negativa imaginära roten resulterar inte i svängningar, utan i exponentiell tillväxt av mycket små förskjutningar. En svag fjäder orsakar därför den typ av instabilitet som beskrivs kvalitativt i slutet av föregående avsnitt. En stark fjäder å andra sidan kommer att producera svängningar, som man intuitivt förväntar sig.

Magnetfältens fjäderliknande natur

För att förstå hur MRT fungerar måste vi först förstå förhållandena inuti en perfekt ledande vätska i rörelse. Detta är ofta en bra approximation till astrofysiska gaser. I närvaro av ett magnetfält ${\boldsymbol {B}}\ ,$ svarar en rörlig ledare genom att försöka eliminera Lorentzkraften på de fria laddningarna. Den magnetiska kraften verkar på ett sådant sätt att den lokalt omarrangerar dessa laddningar för att producera ett inre elektriskt fält av ${\boldsymbol {E=-{v\times B}}}\ .$ På detta sätt, den direkta Lorentz-kraften på laddningarna ${\boldsymbol {E+v\times B }}$ försvinner. (Alternativt försvinner det elektriska fältet i den lokala viloramen för de rörliga laddningarna.) Detta inducerade elektriska fält kan nu självt inducera ytterligare förändringar i magnetfältet ${\boldsymbol {B}}$ enligt Faradays lag ,

$-{\boldsymbol {\nabla \times E}}={\partial {\boldsymbol {B}} \ över \partial t}\quad {\rm {eller}}\quad {\boldsymbol {\nabla \times (v\times B)}}={\partial {\boldsymbol {B}} \over \partial t}$

 

 

 

 

()

Ett annat sätt att skriva denna ekvation är att om vätskan i tiden ${\displaystyle \delta t} gör en förskjutning$${\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {v}} \delta t\ ,$ då ändras magnetfältet med

$\delta {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla \times (\xi \times B)}}$

 

 

 

 

()

Ekvationen för ett magnetfält i en perfekt ledare i rörelse har en speciell egenskap: kombinationen av Faraday-induktion och noll Lorentz-kraft gör att fältlinjerna beter sig som om de var målade, eller "frusna" in i vätskan. Speciellt om ${\boldsymbol {B}}$ initialt är nästan konstant och $\xi$ är en divergensfri förskjutning, så reduceras vår ekvation till

$\delta {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\ {(B\cdot \nabla )\xi }}},$

 

 

 

 

()

på grund av vektorkalkylens identitet ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {\xi } \times \mathbf {B} )=\mathbf {\xi } (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \ cdot \mathbf {\xi} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {\xi} -(\mathbf {\xi} \cdot \nabla )\mathbf {B} \ .} Av$ dessa 4 termer, $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ är en av Maxwells ekvationer . Med det divergensfria antagandet, $\nabla \cdot \mathbf {\xi } =0$ . $(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} =0$ eftersom B antas vara nästan konstant. Ekvation 8 visar att ${\boldsymbol {B}}$ ändras endast när det finns en skjuvförskjutning längs fältlinjen. För att förstå MRI är det tillräckligt att överväga fallet där ${\boldsymbol {B}}$ är enhetlig i vertikal $z$ -riktning och $\xi$ varierar som $e^{ikz}\ .$ Sedan

$\delta {\boldsymbol {B}}=ikB{\boldsymbol {\xi }},$

 

 

 

 

()

där det är underförstått att den verkliga delen av denna ekvation uttrycker dess fysiska innehåll. (Om ${\boldsymbol {\xi }}$ är proportionell mot $\cos(kz)\ ,$ till exempel, då $\delta {\boldsymbol {B}}$ är proportionell mot $-\sin(kz)\ .$ )

Ett magnetfält utövar en kraft per volymenhet på en elektriskt neutral, ledande vätska lika med ${\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ .$ Amperes kretslag ger $\mu _{0}{\boldsymbol {J=\nabla \times B}}\ ,$ eftersom Maxwells korrigering försummas i MHD-approximationen. Kraften per volymenhet blir

$\left({\frac {1}{\mu _{0} }}\right){\boldsymbol {(\nabla \times B)\times B}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {B^{2}}{2\mu _{ 0}}}\right)+\left({\frac {1}{\mu _{0}}}\right){\boldsymbol {(B\cdot \nabla )B}}$

 

 

 

 

()

där vi har använt samma vektorkalkylidentitet. Denna ekvation är helt generell och gör inga antaganden om styrkan eller riktningen av magnetfältet. Den första termen till höger är analog med en tryckgradient. I vårt problem kan det försummas eftersom det inte utövar någon kraft i skivans plan, vinkelrätt mot $z\ .$ Den andra termen fungerar som en magnetisk spänningskraft, analogt med en spänd sträng. För en liten störning $\delta {\boldsymbol {B}}\ ,$ utövar den en acceleration som ges av kraft dividerat med massa, eller ekvivalent, kraft per volymenhet dividerat med massa per volymenhet:

$\left({\frac {1}{\mu _{ 0}\rho }}\right){\boldsymbol {(B\cdot \nabla )\delta B}}=\left({\frac {ikB{\boldsymbol {\delta B}}}{\mu _{0 }\rho }}\right)=-{k^{2}B^{2} \over \mu _{0}\rho }{\boldsymbol {(}}\xi)$

 

 

 

 

()

En magnetisk dragkraft ger alltså upphov till en returkraft som är direkt proportionell mot förskjutningen. Detta betyder att oscillationsfrekvensen $\omega$ för små förskjutningar i rotationsplanet för en skiva med ett enhetligt magnetfält i vertikal riktning uppfyller en ekvation ("spridningsrelation") exakt analog med ekvation 5 , med "fjäderkonstant" $K={k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho }\ :$

$\omega ^{4}-[2(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )+\kappa ^{2}]\omega ^{2}+(k ^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )[(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )+Rd\Omega ^{2}/ dR]=0$

 

 

 

 

()

Som tidigare, om $d\Omega ^{2}/dR<0\ ,$ finns det en exponentiellt växande rot av denna ekvation för vågtal $k$ som uppfyller $(k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )<-Rd\Omega ^{2}/dR\ .$ Detta motsvarar MRT. Lägg märke till att magnetfältet uppträder i ekvation 12 endast som produkten $kB\ .$ Således, även om ${\displaystyle B} är mycket liten,$ kan denna magnetiska spänning vara viktig för mycket stora vågtal ${\displaystyle k} .$ Det är därför MRT är så känsligt för även mycket svaga magnetfält: deras effekt förstärks genom multiplikation med $k\ .$ Dessutom kan det visas att MRI är närvarande oavsett magnetfältets geometri, så länge fältet inte är för starkt.

Inom astrofysik är man allmänt intresserad av det fall där skivan stöds av rotation mot gravitationsattraktionen hos en central massa. En balans mellan den Newtonska gravitationskraften och den radiella centripetalkraften ger omedelbart

$\Omega ^{2}={GM \over R^{3}}$

 

 

 

 

()

där $G$ är den Newtonska gravitationskonstanten, $M$ är den centrala massan och $R$ är den radiella platsen på skivan. Eftersom ${\displaystyle Rd\Omega ^{2}/dR=-3\Omega ^{2}<0\ ,} är$ denna så kallade Kepler-skiva instabil mot MRI. Utan ett svagt magnetfält skulle flödet vara stabilt.

För en Kepler-skiva är den maximala tillväxthastigheten $\gamma =3\Omega /4\ ,$ vilket inträffar vid ett vågtal som uppfyller ${\displaystyle (k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )=15\Omega ^{2}/16\ .} γ {$$displaystyle \gamma }$ är mycket snabb, motsvarande en förstärkningsfaktor på mer än 100 per rotationsperiod. Den olinjära utvecklingen av MRI till fullt utvecklad turbulens kan följas via storskalig numerisk beräkning.

Tillämpningar och laboratorieförsök

Intresset för MRT är baserat på det faktum att det verkar ge en förklaring till ursprunget till turbulent flöde i astrofysiska ackretionsskivor (Balbus och Hawley, 1991). En lovande modell för de kompakta, intensiva röntgenkällor som upptäcktes på 1960-talet var den av en neutronstjärna eller ett svart hål som drar in (”ackreterar”) gas från sin omgivning (Prendergast och Burbidge, 1968). Sådan gas ansamlas alltid med en ändlig mängd rörelsemängd i förhållande till det centrala objektet, och därför måste den först bilda en roterande skiva - den kan inte ansamlas direkt på objektet utan att först förlora sin rörelsemängd. Men hur ett element av gasformig vätska lyckades tappa sin vinkelmomentum och spiral mot det centrala föremålet var inte alls uppenbart.

En förklaring var skjuvdriven turbulens (Shakura och Sunyaev, 1973). Det skulle finnas betydande skjuvning i en ackretionsskiva (gas närmare centrum roterar snabbare än yttre skivområden), och skjuvskikt bryts ofta ned till turbulent flöde. Närvaron av skjuvgenererad turbulens producerar i sin tur de kraftfulla vridmoment som behövs för att transportera vinkelmoment från ett (inre) vätskeelement till ett annat (längre ut).

Nedbrytningen av skjuvlager till turbulens observeras rutinmässigt i flöden med hastighetsgradienter, men utan systematisk rotation. Detta är en viktig punkt, eftersom rotation producerar starkt stabiliserande Coriolis-krafter, och det är precis vad som sker i accretion-skivor. Som kan ses i ekvation 5 producerar K = 0-gränsen Coriolis-stabiliserade svängningar, inte exponentiell tillväxt. Dessa svängningar är också närvarande under mycket mer allmänna förhållanden: ett nyligen genomfört laboratorieexperiment (Ji et al., 2006) har visat stabilitet hos flödesprofilen som förväntas i accretionskivor under förhållanden där annars besvärliga avledningseffekter är (med en standardmått känd som Reynolds-talet) långt under en del på en miljon. Alla dessa förändringar är dock när även ett mycket svagt magnetfält är närvarande. MRT producerar vridmoment som inte stabiliseras av Corioliskrafter. Storskaliga numeriska simuleringar av MRI indikerar att det roterande skivflödet bryts ner i turbulens (Hawley et al., 1995), med kraftigt förbättrade vinkelmomenttransportegenskaper. Detta är precis vad som krävs för att ackretionsdiskmodellen ska fungera. Bildandet av stjärnor (Stone et al., 2000), produktionen av röntgenstrålar i system med neutronstjärnor och svarta hål (Blaes, 2004) och skapandet av aktiva galaktiska kärnor (Krolik, 1999) och gammastrålningskurar (Wheeler) , 2004) tros alla involvera utvecklingen av MRT på någon nivå.

Hittills har vi fokuserat ganska uteslutande på den dynamiska nedbrytningen av laminärt flöde till turbulens utlöst av ett svagt magnetfält, men det är också så att det resulterande starkt agiterade flödet kan agera tillbaka på samma magnetfält. Inbäddade magnetfältslinjer sträcks ut av det turbulenta flödet, och det är möjligt att systematisk fältförstärkning kan resultera. Processen genom vilken vätskerörelser omvandlas till magnetfältsenergi är känd som en dynamo (Moffatt, 1978); de två bäst studerade exemplen är jordens flytande yttre kärna och skikten nära solens yta. Dynamoaktiviteten i dessa regioner tros vara ansvarig för att upprätthålla jord- och solmagnetfälten. I båda dessa fall är termisk konvektion sannolikt den primära energikällan, men i fallet med solen kan differentiell rotation också spela en viktig roll. Huruvida MRT är en effektiv dynamoprocess i accretion diskar är för närvarande ett område för aktiv forskning (Fromang och Papaloizou, 2007).

Det kan också finnas tillämpningar av MRI utanför den klassiska accretion diskplatsen. Intern rotation i stjärnor (Ogilvie, 2007) och även planetariska dynamos (Petitdemange et al., 2008) kan under vissa omständigheter vara sårbara för MRT i kombination med konvektiv instabilitet. Dessa studier pågår också.

Slutligen kan MRT i princip studeras i laboratoriet (Ji et al., 2001), även om dessa experiment är mycket svåra att genomföra. En typisk uppställning involverar antingen koncentriska sfäriska skal eller koaxiala cylindriska skal. Mellan (och instängd av) skalen finns en ledande flytande metall som natrium eller gallium. De inre och yttre skalen ställs in i rotation med olika hastigheter, och viskösa vridmoment tvingar den fångade flytande metallen att rotera differentiellt. Experimentet undersöker sedan om den differentiella rotationsprofilen är stabil eller inte i närvaro av ett pålagt magnetfält.

En påstådd upptäckt av MRT i ett sfäriskt skalexperiment (Sisan et al., 2004), där det underliggande tillståndet självt var turbulent, väntar på bekräftelse när detta skrivs (2009). En magnetisk instabilitet som har en viss likhet med MRT kan exciteras om både vertikala och azimutala magnetfält finns närvarande i ostört tillstånd (Hollerbach och Rüdiger, 2005). Detta kallas ibland för spiral-MRI, (Liu et al., 2006) även om dess exakta relation till den ovan beskrivna magnetröntgen har ännu inte helt klarlagts. Eftersom den är mindre känslig för stabiliserande ohmsk resistans än den klassiska MRI är denna spiralformade magnetiska instabilitet lättare att excitera i laboratoriet, och det finns indikationer på att den kan ha hittats (Stefani et al., 2006). Detekteringen av den klassiska MRI i ett hydrodynamiskt vilande bakgrundstillstånd har dock ännu inte uppnåtts i laboratoriet.

Fjädermassa-analogen av standard MRI har visats i roterande Taylor-Couette / Keplerian-liknande flöde (Hung et al. 2019) .

•    Acheson, DJ; Hide, R (1973-02-01). "Hydromagnetik hos roterande vätskor". Rapporter om framsteg i fysik . IOP-publicering. 36 (2): 159–221. Bibcode : 1973RPPh...36..159A . doi : 10.1088/0034-4885/36/2/002 . ISSN 0034-4885 . S2CID 250881777 .
•    Acheson, DJ; Gibbons, MP (1978-06-22). "Om instabiliteten hos toroidala magnetfält och differentiell rotation i stjärnor". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . Royal Society. 289 (1363): 459–500. Bibcode : 1978RSPTA.289..459A . doi : 10.1098/rsta.1978.0066 . ISSN 1364-503X . S2CID 82914771 .
• Balbus, SA och Hawley, JF 1991, Astrophys. J., 376, 214
•    Balbus, Steven A.; Hawley, John F. (1998-01-01). "Instabilitet, turbulens och förbättrad transport i accretion diskar". Recensioner av modern fysik . American Physical Society (APS). 70 (1): 1–53. Bibcode : 1998RvMP...70....1B . doi : 10.1103/revmodphys.70.1 . ISSN 0034-6861 . S2CID 53513044 .
• Blaes, OM 2004, i Physics Fundamentals of Luminous Accretion Disks Around Black Holes . Proc. LXXVIII av Les Houches Summer School, Chamonix, Frankrike, ed. F. Menard, G. Pelletier, V. Beskin, J. Dalibard, sid. 137. Paris/Berlin: Springer
•    Chandrasekhar, S. (1953-02-10). "Stabiliteten av viskös flöde mellan roterande cylindrar i närvaro av ett magnetfält". Proceedings of the Royal Society of London. Serie A. Matematiska och fysiska vetenskaper . Royal Society. 216 (1126): 293–309. Bibcode : 1953RSPSA.216..293C . doi : 10.1098/rspa.1953.0023 . ISSN 2053-9169 . S2CID 122365384 .
• Chandrasekhar, S. 1961, Hydrodynamic and Hydromagnetic Instability, Oxford: Clarendon
• Fricke, K. 1969, Astron. Astrophys., 1, 388
• Fromang, S. och Papaloizou J. 2007, Astron. Astrophys., 476, 1113
• Hawley, JF, Gammie, CF och Balbus, SA 1995, Astrophys. J., 440, 742
•     Hollerbach, Rainer; Rüdiger, Günther (2005-09-14). "Ny typ av magnetrotationsinstabilitet i cylindriskt Taylor-Couette-flöde" . Fysiska granskningsbrev . 95 (12): 124501. arXiv : astro-ph/0508041 . Bibcode : 2005PhRvL..95l4501H . doi : 10.1103/physrevlett.95.124501 . ISSN 0031-9007 . PMID 16197079 . S2CID 15497431 .
•   Hung, Derek MH; Blackman, Eric G.; Caspary, Kyle J.; Gilson, Erik P.; Ji, Hantao (2019-01-14). "Experimentell bekräftelse av standardmagnetrotationsinstabilitetsmekanismen med en fjädermassaanalog" . Kommunikationsfysik . Springer Science and Business Media LLC. 2 (1): 7. arXiv : 1801.03569 . Bibcode : 2019CmPhy...2....7H . doi : 10.1038/s42005-018-0103-7 . ISSN 2399-3650 .
• Ji, H., Goodman, J. och Kageyama, A. 2001, MNRAS, 325, L1
•     Ji, Hantao; Burin, Michael; Schartman, Ethan; Goodman, Jeremy (2006). "Hydrodynamisk turbulens kan inte transportera rörelsemängd effektivt i astrofysiska skivor" . Naturen . 444 (7117): 343–346. arXiv : astro-ph/0611481 . Bibcode : 2006Natur.444..343J . doi : 10.1038/nature05323 . ISSN 0028-0836 . PMID 17108959 . S2CID 4422497 .
• Krolik, J. 1999, Active Galactic Nuclei, Princeton: Princeton Univ.
•     Liu, Wei; Goodman, Jeremy; Herron, Isom; Ji, Hantao (2006-11-07). "Spiralmagnetrotationsinstabilitet i magnetiserat Taylor-Couette-flöde". Fysisk granskning E . 74 (5): 056302. arXiv : astro-ph/0606125 . Bibcode : 2006PhRvE..74e6302L . doi : 10.1103/physreve.74.056302 . ISSN 1539-3755 . PMID 17279988 . S2CID 12013725 .
• Moffatt, HK 1978, Generering av magnetfält i elektriskt ledande vätskor. Cambridge: Cambridge Univ
• Ogilvie G., 2007, i The Solar Tachocline . ed. D. Hughes, R. Rosner, N. Weiss, sid. 299. Cambridge: Cambridge Univ.
•   Petitdemange, Ludovic; Dormy, Emmanuel; Balbus, Steven A. (2008-08-15). "Magnetostrofisk MRI i jordens yttre kärna" . Geofysiska forskningsbrev . American Geophysical Union (AGU). 35 (15): L15305. arXiv : 0901.1217 . Bibcode : 2008GeoRL..3515305P . doi : 10.1029/2008gl034395 . ISSN 0094-8276 .
• Prendergast, K. och Burbidge, GR 1968, Astrophys. J. Lett., 151, L83
• Shakura, N. och Sunyaev, RA 1973, Astron. Astrophys., 24, 337
•     Sisan, Daniel R.; Mujica, Nicolás; Tillotson, W. Andrew; Huang, Yi-Min; Dorland, William; Hassam, Adil B.; Antonsen, Thomas M.; Lathrop, Daniel P. (2004-09-10). "Experimentell observation och karakterisering av magnetrotationsinstabiliteten". Fysiska granskningsbrev . 93 (11): 114502. arXiv : fysik/0402125 . Bibcode : 2004PhRvL..93k4502S . doi : 10.1103/physrevlett.93.114502 . ISSN 0031-9007 . PMID 15447344 . S2CID 5842572 .
•     Stefani, Frank; Gundrum, Thomas; Gerbeth, Gunter; Rüdiger, Günther; Schultz, Manfred; Szklarski, Jacek; Hollerbach, Rainer (2006-11-01). "Experimentella bevis för magnetrotationsinstabilitet i ett Taylor-Couette-flöde under inflytande av ett spiralformigt magnetfält". Fysiska granskningsbrev . 97 (18): 184502. arXiv : astro-ph/0606473 . Bibcode : 2006PhRvL..97r4502S . doi : 10.1103/physrevlett.97.184502 . ISSN 0031-9007 . PMID 17155546 . S2CID 119035530 .
• Stone, JM, Gammie, CF, Balbus, SA och Hawley, JF 2000, i Protostars and Planets IV, ed. V.Mannings, A.Boss och S.Russell, Space Science Reviews, sid. 589. Tucson: U. Arizona
• Velikhov, EP 1959, J. Exp. Theor. Phys. (USSR), 36, 1398
• Wheeler, JC 2004, Advances in Space Research, 34, 12, 2744

Vidare läsning

•   Balbus, Steven A. (juni 2003). "Förbättrad vinkelmomenttransport i Accretion Disks". Årlig översyn av astronomi och astrofysik . 41 : 555-597. arXiv : astro-ph/0306208 . Bibcode : 2003ARA&A..41..555B . doi : 10.1146/annurev.astro.41.081401.155207 . S2CID 45836806 .
•   Blaes, Omer (oktober 2004). "Ett universum av diskar" (PDF) . Scientific American . 289 (4): 48–57. Bibcode : 2004SciAm.291d..48B . doi : 10.1038/scientificamerican1004-48 . PMID 15487670 .
•   Frank, Juhan; King, Andrew; Raine, Derek (11 februari 2002). Accretion Power in Astrophysics (3:e upplagan). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-62957-8 .