Uppskattningslemma

Inom matematiken ger uppskattningslemmat , även känt som ML- ojämlikheten , en övre gräns för en konturintegral . Om f är en komplext värderad, kontinuerlig funktion på konturen Γ och om dess absoluta värde | f ( z ) | begränsas av en konstant M för alla z på Γ , alltså

$\left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,l(\Gamma ),$

där l (Γ) är båglängden för Γ . I synnerhet kan vi ta det maximala

$M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|$

som övre gräns. Intuitivt lemmat mycket enkelt att förstå. Om en kontur tänks på lika många mindre kontursegment som är sammankopplade, kommer det att finnas en maximal | f ( z ) | för varje segment. Av alla maximala | f ( z ) | För segmenten kommer det att finnas en totalt sett störst. Därför, om den totalt sett största | f ( z ) | summeras över hela banan måste integralen av f ( z ) över banan vara mindre än eller lika med den.

Formellt kan olikheten visas för att hålla med hjälp av definitionen av konturintegral, absolutvärdet olikhet för integraler och formeln för längden på en kurva enligt följande:

$\left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\ gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,l(\Gamma )$

Uppskattningslemmat används oftast som en del av metoderna för konturintegrering i syfte att visa att integralen över en del av en kontur går till noll som | z | går till oändligheten. Ett exempel på ett sådant fall visas nedan.

Exempel

Konturen Γ .

Problem. Hitta en övre gräns för

$\left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|,$

där Γ är den övre halvcirkeln | z | = a med radie a > 1 förflyttad en gång i moturs riktning.

Lösning. Observera först att längden på integrationsvägen är halva omkretsen av en cirkel med radien a , därför

$l(\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a.$

Därefter söker vi en övre gräns M för integranden när | z | = a . Genom triangelojämlikheten ser vi det

$|z|^{2}=\left|z^{2}\right|=\left|z^{2}+1-1\right|\leq \left|z^{2 }+1\right|+1,$

därför

$\left|z^{2}+1\right|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0$

eftersom | z | = a > 1 på Γ . Därav

$\left|{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{\left(a^{ 2}-1\höger)^{2}}}.$

Därför tillämpar vi uppskattningslemmat med M = 1 / ( a ² − 1) ² . Den resulterande gränsen är

$\left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.$

Se även

• Jordans lemma

•   Saff, EB; Snider, AD (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science and Engineering (2:a upplagan), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615 .
• Howie, JM (2003), Complex Analysis , Springer .