Jordans lemma

I komplex analys är Jordans lemma ett resultat som ofta används i samband med restsatsen för att utvärdera konturintegraler och felaktiga integraler . Lemmat är uppkallat efter den franske matematikern Camille Jordan .

Påstående

Betrakta en komplext värderad, kontinuerlig funktion $f$ , definierad på en halvcirkelformad kontur

C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}

med positiv radie $R$ som ligger i det övre halvplanet , centrerad vid origo. Om funktionen $f$ är av formen

f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C,

med en positiv parameter $a$ anger Jordans lemma följande övre gräns för konturintegralen:

\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{där} }\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta}\right)\right|.

med likhet när $g$ försvinner överallt, i vilket fall båda sidor är identiskt noll. Ett analogt uttalande för en halvcirkelformad kontur i det nedre halvplanet gäller när $a < 0$ .

Anmärkningar

Om $f$ är kontinuerlig på den halvcirkelformade konturen $C R$ för alla stora $R$ och

\lim _{R\to \infty }M_{R}=0

()

sedan av Jordans lemma

\lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.

För fallet $a = 0$ , se uppskattningslemmat .
Jämfört med skattningslemmat beror den övre gränsen i Jordans lemma inte explicit på längden på konturen $C R$ .

Tillämpning av Jordans lemma

Banan

C

är sammankopplingen

C2 av

banorna

C1 .

och

Jordans lemma ger ett enkelt sätt att beräkna integralen längs den reella axeln av funktioner $f (z) = e i az g (z)$ holomorf på det övre halvplanet och kontinuerligt på det slutna övre halvplanet, utom möjligen vid ett ändligt antal icke-reella punkter $z 1$ , $z 2$ , …, $z n$ . Betrakta den slutna konturen $C$ , som är sammanlänkningen av banorna $C 1$ och $C 2$ som visas i bilden. Per definition,

\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\ ,.

Eftersom variabeln $z på$ $C 2$ är reell, är den andra integralen reell:

\int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.

Den vänstra sidan kan beräknas med hjälp av restsatsen för att få, för alla $R$ större än det maximala av $| z 1 |$ , $| z 2 |$ , …, $| z n |$ ,

\oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _ {k=1}^{n}\operatörsnamn {Res} (f,z_{k})\,,

där $Res(f, z k)$ betecknar resten av $f$ vid singulariteten $z k$ . Följaktligen, om $f$ uppfyller villkoret ( * ), och om man tar gränsen eftersom $R$ tenderar till oändlighet, försvinner konturintegralen över $C 1$ av Jordans lemma och vi får värdet av den felaktiga integralen

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatörsnamn {Res} (f,z_{ k})\,.

Exempel

Funktionen

f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2} }},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},

uppfyller villkoret för Jordans lemma med $a = 1$ för alla $R > 0$ med $R \neq 1$ . Observera att för $R > 1$ ,

M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\ theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,

gäller ( * ). Eftersom den enda singulariteten för $f$ i det övre halvplanet är vid $z = i$ , ger ovanstående tillämpning

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatörsnamn {Res } (f,i)\,.

Eftersom $z = i$ är en enkel pol av $f$ och $1 + z 2 = (z + i)(z - i)$ får vi

\operatorname {Res} (f,i )=\lim _{z\to i}(zi)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e ^{-1}}{2i}}

så att

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatörsnamn {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi}{e}}\,.

Detta resultat exemplifierar hur vissa integraler som är svåra att beräkna med klassiska metoder lätt kan utvärderas med hjälp av komplex analys.

Det här exemplet visar att Jordans lemma kan användas istället för ett mycket enklare uppskattningslemma . Faktum är att uppskattningslemma räcker för att beräkna $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x ^{2}}}\,dx$ , samt $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x }{1+x^{2}}}\,dx$ , Jordans lemma här är onödigt.

Bevis på Jordans lemma

Enligt definitionen av den komplexa linjeintegralen ,

\int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e ^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.

Nu är ojämlikheten

{\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x )\right|\,dx

avkastning

I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{ \bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d \theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d \theta \,.

Genom att använda $MR π$ som definieras i ( * ) och symmetrin $sin θ = sin(- θ) får$ vi

I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0} ^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.

Eftersom grafen för $sin θ$ är konkav på intervallet $θ \in [0, π ⁄ 2]$ , ligger grafen för $sin θ$ ovanför den räta linjen som förbinder dess ändpunkter, därför

\sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad

för alla $θ \in [0, π ⁄ 2]$ , vilket ytterligare antyder

I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi } {a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.

Se även

Uppskattningslemma

Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Komplexa variabler och tillämpningar (7:e upplagan). New York: McGraw Hill. s. 262–265. ISBN 0-07-287252-7 .