Möbius-konfiguration

Exempel på Möbius-konfiguration; ansiktsplanen för den röda tetraedern visas på toppen av bilden; den blå längst ner. Spetskoordinaterna för den röda tetraedern är: $(0,0,0),$$(0,0,1),$${ \displaystyle (0,1,0)}$ och $(1,0,0)$ . Spetskoordinaterna för den blå tetraedern är $(0,-\gamma ,\gamma ),$$\displaystyle (\gamma ,0,-\ gamma ),}$$(-\gamma ,\gamma ,0)$ och $(\lambda ,\lambda ,\lambda ),$ där $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ och $\lambda ={\frac {1}{3}}$ .

Inom geometri är Möbius -konfigurationen eller Möbius-tetraderna en viss konfiguration i det euklidiska utrymmet eller projektivt utrymme, bestående av två ömsesidigt inskrivna tetraeder : varje vertex av en tetraeder ligger på ett vändplan av den andra tetraedern och vice versa. Således, för det resulterande systemet med åtta punkter och åtta plan, ligger varje punkt på fyra plan (de tre plan som definierar den som en vertex på en tetraeder och det fjärde planet från den andra tetraedern som den ligger på), och varje plan innehåller fyra punkter (de tre tetraedertopparna i dess ansikte och spetsen från den andra tetraedern som ligger på den).

Möbius sats

Konfigurationen är uppkallad efter August Ferdinand Möbius , som 1828 bevisade att om två tetraedrar har egenskapen att sju av deras hörn ligger på motsvarande ytplan av den andra tetraedern, så ligger den åttonde vertexen också på planet för dess motsvarande yta, bildar en konfiguration av denna typ. Detta incidenssats är sant mer generellt i ett tredimensionellt projektivt utrymme om och endast om Pappus sats gäller för det utrymmet ( Reidemeister , Schönhardt ), och det är sant för ett tredimensionellt utrymme modellerat på en divisionsring om och endast om ring uppfyller den kommutativa lagen och är därför ett fält (Al-Dhahir). Genom projektiv dualitet är Möbius resultat ekvivalent med påståendet att om sju av de åtta ytplanen på två tetraedrar innehåller motsvarande hörn av den andra tetraedern, så innehåller det åttonde ytplanet också samma vertex.

Konstruktion

Coxeter (1950) beskriver en enkel konstruktion för konfigurationen. Börja med en godtycklig punkt p i det euklidiska rummet, låt A , B , C och D vara fyra plan genom p , varav inte tre delar en gemensam skärningslinje, och placera de sex punkterna q , r , s , t , u , och v på de sex linjerna som bildas av parvis skärning av dessa plan på ett sådant sätt att inga fyra av dessa punkter är i samma plan. För vart och ett av planen A , B , C och D ligger fyra av de sju punkterna p , q , r , s , t , u och v på det planet och tre är åtskilda från det; bildar planen A' , B' , C' och D' genom trippeln av punkter som är disjunkta från A , B , C , respektive D. Sedan, genom den dubbla formen av Möbius sats, möts dessa fyra nya plan i en enda punkt w . De åtta punkterna p , q , r , s , t , u , v och w och de åtta planen A , B , C , D , A' , B' , C' och D' bildar en instans av Möbius konfiguration .

Relaterade konstruktioner

Hilbert & Cohn-Vossen (1952) konstaterar (utan referenser) att det finns fem konfigurationer med åtta punkter och åtta plan med fyra punkter på varje plan och fyra plan genom varje punkt som är realiserbara i tredimensionellt euklidiskt rum: sådana konfigurationer har stenografisk notation $8_{4}$ . De ska ha fått sina uppgifter från artikeln av Ernst Steinitz ( 1910 ). Detta anger faktiskt, beroende på resultat av P. Muth ( 1892 ), G. Bauer ( 1897 ) och V. Martinetti ( 1897 ), att det finns fem $8_{4}$ konfigurationer med egenskapen som vid de flesta två plan har två punkter gemensamma, och dubbelt högst två punkter är gemensamma för två plan. (Detta villkor innebär att var tredje punkt kan vara icke-kollinjär och två plan kanske inte har en linje gemensam.) Det finns dock tio andra $8_{4}$ -konfigurationer som inte har detta villkor, och alla femton konfigurationer är realiserbara i verklig tredimensionell rymd. Konfigurationerna av intresse är de med två tetraedrar, som var och en inskriver och omger den andra, och dessa är just de som uppfyller ovanstående egenskap. Det finns alltså fem konfigurationer med tetraedrar, och de motsvarar de fem konjugationsklasserna i den symmetriska gruppen $S_{4}$ . Man erhåller en permutation från de fyra punkterna i en tetraeder S = ABCD till sig själv enligt följande: varje punkt P av S är på ett plan som innehåller tre punkter av den andra tetraedern T. Detta lämnar den andra punkten av T, som är på tre punkter av ett plan av S, lämnar ytterligare en punkt Q av S, och så permutationskartorna P → Q. De fem konjugationsklasserna har representanter e, (12)(34), (12), (123), (1234) och, av dessa motsvarar Möbius-konfigurationen konjugationsklassen e. Det skulle kunna betecknas Ke. Det sägs av Steinitz att om två av Kes komplementära tetraedrar är $A_{0},B_{0},C_{0},D_{0}$ och $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ sedan ges de åtta planen av ${ \displaystyle A_{i},B_{j},C_{k},D_{l}}$ med $i+j+k+l$ udda, medan de jämna summorna och deras komplement motsvarar alla par av komplementära tetraedrar som in- och omger i modellen av Ke.

Det anges också att av Steinitz att den enda $8_{4}$ som är en geometrisk sats är Möbius-konfigurationen. Men det är omtvistat: Glynn (2010) visar med hjälp av en datorsökning och bevis att det finns exakt två $8_{4}$ som faktiskt är "satser": Möbius-konfigurationen och en annan. Den senare (som motsvarar konjugationsklassen (12)(34) ovan) är också en sats för alla tredimensionella projektiva rum över ett fält , men inte över en allmän divisionsring . Det finns andra nära likheter mellan de två konfigurationerna, inklusive det faktum att båda är självduala under Matroid-dualitet . I abstrakta termer har den senare konfigurationen "punkter" 0,...,7 och "plan" 0125+i, (i = 0,...,7), där dessa heltal är modulo åtta. Denna konfiguration, liksom Möbius, kan också representeras som två tetraedrar, ömsesidigt inskrivna och omskrivna: i heltalsrepresentationen kan tetraedrarna vara 0347 och 1256. Dessa två 8 $\displaystyle 8_{4}}$ konfigurationer är dock icke-isomorfa , eftersom Möbius har fyra par disjunkta plan, medan det senare inte har några disjunkta plan. Av en liknande anledning (och eftersom par av plan är degenererade kvadratiska ytor), är Möbius-konfigurationen på mer kvadratiska ytor av tredimensionellt rymd än den senare konfigurationen.

Levi -grafen för Möbius-konfigurationen har 16 hörn, en för varje punkt eller plan i konfigurationen, med en kant för varje infallande punkt-plan-par. Det är isomorft till 16-vertex hyperkubgrafen Q ₄ . En närbesläktad konfiguration, Möbius-Kantor-konfigurationen som bildas av två ömsesidigt inskrivna fyrhörningar, har Möbius-Kantor-grafen , en subgraf av Q ₄ , som sin Levi-graf.

•   Al-Dhahir, MW (1956), "A class of configurations and the commutativity of multiplification", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 40 (334): 241–245, doi : 10.2307/3609605 , JSTOR 3609605 .
• Bauer, Gustav (1897), "Von zwei Tetraëdern, welche einander zugleich eingeschrieben und umschrieben sind" , Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Physikalischen Classe (på tyska), 27 (2): 359–366 .
•   Coxeter, HSM (1950), "Self-dual configurations and regular graphs", Bulletin of the American Mathematical Society , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 , 8 07000 .
• Glynn, DG (2010), "Theorems of points and planes in three-dimensional projective space", Journal of the Australian Mathematical Society , 88 : 75–92, doi : 10.1017/S1446788708080981 .
•   Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2:a uppl.), Chelsea, sid. 184, ISBN 0-8284-1087-9 .
• Martinetti, V. (1897), "Le configurazioni (8 ₄ ,8 ₄ ) di punti e piani" , Giornale di Matemache di Battaglini (på italienska), 35 : 81–100 .
• Möbius, AF (1828), "Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heißen?" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (på tyska), 3 : 273–278 . I Gesammelte Werke (1886), vol. 1, s. 439–446.
• Muth, P. (1892), "Ueber Tetraederpaare" , Zeitschrift für Mathematik und Physik (på tyska), 37 : 117–122 .
• Reidemeister, K. (1929), "Zur Axiomatik der 3-dimensionalen projektive Geometrie" , Aufgaben und Lösungen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (på tyska), 38 : 71 .
• Reidemeister, K. (1931), "Aufgabe 63 (gestellt in Jahresbericht DMV 38 (1929), 71 kursiv). Lösung von E. Schönhardt" , Aufgaben und Lösungen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 40 : 48–50 .
• Steinitz, Ernst (1910), "Konfigurationen der projektiven Geometrie. 6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen", Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften , 3-1-1 AB 5a: 492–494, doi : 10.1007/978-3-6263-167 -4_7 .