Skärningssats

I projektiv geometri är en skärningssats eller incidenssats ett uttalande om en infallsstruktur – bestående av punkter, linjer och möjligen högredimensionella objekt och deras infallsfall – tillsammans med ett par objekt $A$ och $B$ (till exempel en punkt och en rad). " Satsen " säger att närhelst en uppsättning objekt uppfyller incidensen ( dvs. kan identifieras med objekten i incidensstrukturen på ett sådant sätt att incidensen bevaras), då måste objekten $A$ och $B också vara incidenter.$ En skärningssats är inte nödvändigtvis sant i alla projektiva geometrier; det är en egenskap som vissa geometrier uppfyller men andra inte.

Till exempel kan Desargues teorem anges med hjälp av följande incidensstruktur:

Poäng: $\{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}$
Rader: $\{AB,AC,BC,ab,ac,bc, Aa,Bb,Cc,PQ\}$
Incidenser (utöver uppenbara sådana som $(A,AB)$ : $\{(O,Aa) ,(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}$

Innebörden är då $(R,PQ)$ — att punkt $R$ är infallande med linjen $PQ$ .

Kända exempel

Desargues sats gäller i ett projektivt plan $P$ om och endast om $P$ är det projektiva planet över någon delningsring (skewfield} $D$ — $P=\mathbb {P} _{2}D$ . projektivt plan kallas då desarguesian En sats av Amitsur och Bergman säger att, i samband med desarguesiska projektiva plan, för varje skärningssats finns en rationell identitet sådan att planet $P$ uppfyller skärningssatsen om och endast om divisionsringen $D$ tillfredsställer den rationella identiteten.

Pappus hexagonsats gäller i ett desarguesiskt projektivt plan $\mathbb {P} _{2}D$ om och endast om $D$ är ett fält ; det motsvarar identiteten $\forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a$ .
Fanos axiom (som säger att en viss skärning inte inträffar) gäller i $\mathbb {P} _{2}D$ om och endast om $D$ har karakteristik $\neq 2$ ; det motsvarar identiteten $a + a = 0$ .

Rowen, Louis Halle, red. (1980). Polynomidentiteter i ringteori . Ren och tillämpad matematik. Vol. 84. Akademisk press. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6032-5 . ISBN 9780125998505 .
Amitsur, SA (1966). "Rationella identiteter och tillämpningar för algebra och geometri" . Journal of Algebra . 3 (3): 304–359. doi : 10.1016/0021-8693(66)90004-4 .