Mängdlära för den verkliga linjen

Mängdlära för den reella linjen är ett område inom matematiken som handlar om tillämpningen av mängdlära på aspekter av de reella talen .

Till exempel vet man att alla räknebara uppsättningar av reella värden är null , dvs har Lebesgue-måttet 0; man kan därför fråga minsta möjliga storlek på en uppsättning som inte är Lebesgue null. Denna invariant kallas enhetligheten för idealet av nollmängder, betecknad $non({\mathcal {N}})$ . Det finns många sådana invarianter förknippade med detta och andra ideal, t.ex. idealet om magra mängder, plus fler som inte har en karakterisering i termer av ideal. Om kontinuumhypotesen (CH) håller, så är alla sådana invarianter lika med ${\displaystyle \aleph _{1}} ,$ den minst oräkneliga kardinal . Till exempel vet vi att $non({\mathcal {N}})$ är oräknelig , men eftersom storleken på en uppsättning reella värden under CH kan den vara högst $\ aleph _{1}$ .

Å andra sidan, om man antar Martins Axiom (MA) är alla vanliga invarianter "stora", det vill säga lika med ${\displaystyle {\mathfrak {c}}} ,$ kontinuumets kardinalitet . Martins axiom överensstämmer med ${\mathfrak {c}}>\aleph _{1}$ . Faktum är att man bör se Martins Axiom som ett forceringsaxiom som förnekar behovet av att göra specifika forceringar av en viss klass (de som uppfyller ccc , eftersom överensstämmelsen hos MA med stort kontinuum bevisas genom att göra alla sådana forceringar (upp till en viss storlek) visat sig vara tillräcklig.) Varje invariant kan göras stor genom vissa ccc-tvingande, så var och en är stor givet MA.

Om man begränsar sig till specifika krafter kommer vissa invarianter att bli stora medan andra förblir små. Att analysera dessa effekter är områdets största arbete, att försöka fastställa vilka ojämlikheter mellan invarianter som är bevisbara och vilka som är oförenliga med ZFC. Ojämlikheterna mellan mått -ideal (nollmängder) och kategori (meagre-mängder) fångas i Cichons diagram . Sjutton modeller (tvingande konstruktioner) producerades under 1980-talet, med början från Arnold Millers arbete, för att visa att inga andra ojämlikheter är bevisbara. Dessa analyseras i detalj i boken av Tomek Bartoszynski och Haim Judah, två av de framstående arbetarna på området.

Ett märkligt resultat är att om du kan täcka den verkliga linjen med $\kappa$ magra mängder (där $\aleph _{1}\leq \kappa \leq {\mathfrak {c }}$ ) sedan $non({\mathcal {N}})\geq \kappa$ ; omvänt om du kan täcka den verkliga linjen med $\kappa$ nollmängder så har den minst icke-meagre mängden storleken minst $\kappa$ ; båda dessa resultat följer av förekomsten av en nedbrytning av $\mathbb {R}$ som föreningen av en mager mängd och en nollmängd.

Ett av de sista stora olösta problemen i området var konsistensen av

{\mathfrak {d}}<{\mathfrak {a}},

bevisades 1998 av Saharon Shelah .

Se även

Bartoszynski, Tomek & Judah, Haim Uppsättningsteori: Om strukturen av den verkliga linjen A.. K. Peters Ltd. (1995). ISBN 1-56881-044-X
Miller, Arnold Några egenskaper för mått och kategori Transactions of the American Mathematical Society, 266(1):93-114, (1981)