Lokal planhet

Inom topologi , en gren av matematik , är lokal planhet jämnhetstillstånd som kan åläggas topologiska undergrenar . I kategorin topologiska grenrör spelar lokalt platta undergrenrör en roll som liknar den för inbäddade undergrenrör i kategorin släta grenrör . Brott mot lokal planhet beskriver åsnätverk och skrynkliga strukturer , med tillämpningar för materialbearbetning och maskinteknik .

Definition

Antag att ett d- dimensionellt grenrör N är inbäddat i ett n -dimensionellt grenrör M (där d < n ). Om $x\in N,$ säger vi att N är lokalt platt vid x om det finns en grannskap $U\delmängd M$ av x så att det topologiska paret $(U,U\cap N)$ är homeomorf till paret $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{n}.} Det vill säga, det finns$ med standardinkluderingen en homeomorfism $U\to \mathbb {R} ^{n }$ så att bilden av $U\cap N$ sammanfaller med $\mathbb {R} ^{d}$ . I schematiska termer måste följande kvadrat pendla :

Vi kallar N lokalt platt i M om N är lokalt platt vid varje punkt. På liknande sätt kallas en karta $\chi \colon N\to M$ lokalt platt , även om den inte är en inbäddning, om varje x i N har en stadsdel U vars bild $\chi (U)$ är lokalt platt i M .

I grenrör med gräns

Ovanstående definition antar att, om M har en gräns , är x inte en gränspunkt för M . Om x är en punkt på gränsen till M ändras definitionen enligt följande. Vi säger att N är lokalt platt vid en gränspunkt x för M om det finns en grannskap $U\subset M$ av x så att det topologiska paret $(U, U\cap N)$ är homeomorft till paret ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})} ,$ där $\mathbb {R} _{+}^{n}$ är ett standardhalvrum och R $\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ingår som ett standarddelrum till dess gräns.

Konsekvenser

Lokal planhet hos en inbäddning innebär starka egenskaper som inte delas av alla inbäddningar. Brown (1962) bevisade att om d = n − 1, så är N krage; det vill säga den har ett område som är homeomorft till N × [0,1] med N självt som motsvarar N × 1/2 (om N är i det inre av M ) eller N × 0 (om N är i gränsen till M ).

Se även

Brown, Morton (1962), Lokalt platta inbäddningar [ sic ] av topologiska grenrör. Annals of Mathematics , andra serien, vol. 75 (1962), s. 331-341.
Mazur, Barry. Om inbäddningar av sfärer. Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 65 (1959), nr. 2, s. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034 .