Limit och colimit av presheaves

I kategoriteori är en gren av matematiken, en limit eller en colimit av presheaves på en kategori C en limit eller colimit i funktionskategorin ${\widehat { C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )$ .

Kategorin ${\widehat {C}}$ tillåter små gränser och små samgränser . Explicit, om $f:I\to {\widehat {C}}$ är en funktor från en liten kategori I och U är ett objekt i C , då $\varinjlim _{i\in I}f(i)$ beräknas punktvis:

$(\varinjlim f(i))(U)=\varinjlim f(i)(U).$

Detsamma gäller för små gränser. Konkret betyder det att till exempel en fiberprodukt finns och beräknas punktvis.

När C är litet, enligt Yoneda-lemmat , kan man se C som hela underkategorin av ${\widehat {C}}$ . Om $\eta :C\to D$ är en funktion, om $f:I\to C$ är en funktor från en liten kategori I och om colimit $\varinjlim f$ i ${\widehat {C}}$ är representabel; dvs isomorft till ett objekt i C , sedan i D ,

$\eta (\varinjlim f)\simeq \varinjlim \eta \circ f,$

(särskilt samgränsen till höger finns i D .)

Densitetssatsen säger att varje förskiva är en kolimit av representativa förskivor .

Anteckningar

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006). Kategorier och kärvar .