Lie produktformel

Inom matematiken anger Lie -produktformeln , uppkallad efter Sophus Lie (1875), men också allmänt kallad Trotter-produktformeln , uppkallad efter Hale Trotter , att för godtyckliga m × m reella eller komplexa matriser A och B ,

$e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n} e^{B/n})^{n},$

där e ^A betecknar matrisexponentialen för A . Lie -Trotter-produktformeln ( Trotter 1959 ) och Trotter -Kato-satsen ( Kato 1978 ) utvidgar detta till vissa obegränsade linjära operatorer A och B.

Denna formel är en analog till den klassiska exponentiallagen

$e^{x+y}=e^{x}e^{y}\,$

som gäller för alla reella eller komplexa tal x och y . Om x och y ersätts med matriserna A och B , och exponentialen ersätts med en matrisexponential , är det vanligtvis nödvändigt att A och B pendlar för att lagen fortfarande ska hålla. Lie-produktformeln gäller dock för alla matriser A och B , även de som inte pendlar.

Lie-produktformeln är begreppsmässigt relaterad till Baker-Campbell-Hausdorff-formeln , genom att båda ersätter den klassiska exponentiella lagen i samband med icke-pendlande operatörer.

Formeln har tillämpningar, till exempel, i vägintegralformuleringen av kvantmekaniken. Det gör att man kan separera Schrödinger- evolutionsoperatören ( propagator ) i alternerande steg av kinetiska och potentiella operatörer (Suzuki-Trotter-nedbrytningen, efter Trotter och Masuo Suzuki). Samma idé används i konstruktionen av uppdelningsmetoder för numerisk lösning av differentialekvationer . Dessutom är Lie-produktsatsen tillräcklig för att bevisa Feynman-Kac-formeln .

Trotter–Kato-satsen kan användas för approximation av linjära ₀ C -semigrupper .

Se även

• Tidsutvecklande blockdecimering

•   Sophus Lie och Friedrich Engel (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (1:a upplagan, Leipzig; 2:a upplagan, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN 0828402329
•   Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction , Lecture Notes in Mathematics, vol. 423 (1:a upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0079827 , hdl : 10852/44049 , ISBN 978-3-540-07785-5 .
•   Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
• "Trotter produktformel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•   Kato, Tosio (1978), "Trotters produktformel för ett godtyckligt par av självtillslutande sammandragningssemigrupper", Ämnen i funktionsanalys (uppsatser tillägnade MG Kreĭn i samband med hans 70-årsdag) , Adv. i matte. Suppl. Stud., vol. 3, Boston, MA: Academic Press , s. 185–195, MR 0538020
•     Trotter, HF (1959), " On the product of semi-groups of operators", Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (4): 545–551, doi : 10.2307/2033649 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 49 2033 0108732
• Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; FP Kelly (1982), "Eigenvalue inequalities for products of matrix exponentials" (PDF) , Linear Algebra and Its Applications , 45 : 55–95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
•   Varadarajan, VS (1984), Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1 , s. 99.
•   Suzuki, Masuo (1976). "Generaliserade Trotters formel och systematiska approximationer av exponentiella operatorer och inre härledningar med tillämpningar på många kroppsproblem" . Comm. Matematik. Phys . 51 (2): 183–190. doi : 10.1007/bf01609348 . S2CID 121900332 .