Leon Mirsky

Leon Mirsky
Född	( 1918-12-19 ) 19 december 1918 Ryssland
dog	1 december 1983 (1983-12-01) (64 år) Sheffield, England
Nationalitet	rysk brittisk
Alma mater	University of Sheffield King's College, London
Känd för	Mirskys teorem Mirsky–Newmans teorem
Vetenskaplig karriär
Fält	Matematik
institutioner	University of Sheffield

Leonid Mirsky (19 december 1918 – 1 december 1983) var en rysk-brittisk matematiker som arbetade med talteori, linjär algebra och kombinatorik. Mirskys teorem är uppkallad efter honom.

Biografi

Mirsky föddes i Ryssland den 19 december 1918 i en medicinsk familj, men hans föräldrar skickade honom för att bo hos sin moster och farbror, en ullhandlare i Tyskland , när han var åtta. Hans farbrors familj flyttade till Bradford , England 1933 och tog med sig Mirsky. Han studerade vid Herne Bay High School och King's College, London och tog examen 1940. På grund av evakueringen av London under blixten flyttades studenter vid King's College till Bristol University , där Mirsky tog en magisterexamen. Han tog en kortvarig fakultetsposition vid Sheffield University 1942, och sedan en liknande position i Manchester; han återvände till Sheffield 1945, där han (förutom en period som gästfakultet vid Bristol) skulle stanna resten av sin karriär. Han blev lektor 1947, tog doktorsexamen. från Sheffield 1949, blev universitetslektor 1958, läsare 1961 och fick en personlig lärostol 1971.

1953 gifte Mirsky sig med Aileen Guilding som vid den tiden var lektor i biblisk historia och litteratur vid Sheffield men senare blev professor och avdelningschef.

Han gick i pension i september 1983 och dog den 1 december 1983.

Mirsky var redaktör för Journal of Linear Algebra and its Applications , Journal of Mathematical Analysis and Applications , och Mathematical Spectrum .

Forskning

Talteori

Mirskys tidiga forskning gällde talteori . Han var särskilt intresserad av de r -fria talen, en generalisering av de kvadratfria heltalen som består av talen som inte är delbara med någon r: te potens. Dessa tal är en supermängd av primtal , och Mirsky bevisade satser för dem analogt med Vinogradovs sats , Goldbachs gissning och tvillingprimtalsförmodan för primtal.

Med Paul Erdős 1952 visade Mirsky starka asymptotiska gränser för antalet distinkta värden som tas av divisorfunktionen d ( n ) när man räknar antalet divisorer av numret n . Om D ( n ) anger antalet distinkta värden på d ( m ) för m ≤ n , då

$D(n)={\bigl (}1+o(1){\bigr )}\exp \left({\frac {\pi {\sqrt {8\log n}}}{{\sqrt {3}}\log \log n}}\right).$

Mirsky -Newman-satsen gäller partitioner av heltal i aritmetiska progressioner , och säger att varje sådan partition måste ha två progressioner med samma skillnad. Det vill säga, det kan inte finnas ett täckande system som täcker varje heltal exakt en gång och har distinkta skillnader. Detta resultat är ett specialfall av Herzog-Schönheim-förmodan i gruppteori ; det antogs 1950 av Paul Erdős och bevisades kort därefter av Mirsky och Donald J. Newman . Mirsky och Newman publicerade dock aldrig sina bevis. Samma bevis hittades också oberoende av Harold Davenport och Richard Rado .

Linjär algebra

1947 ombads Mirsky att undervisa i en kurs i linjär algebra . Strax efter skrev han en lärobok i ämnet, An introduction to linear algebra (Oxford University Press, 1955), samt skrev ett antal forskningsartiklar i ämnet.

I sin forskning gav Mirsky nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för existensen av matriser av olika typer ( verkliga symmetriska matriser , ortogonala matriser , hermitiska matriser , etc.) med specificerade diagonala element och specificerade egenvärden .

Han erhöll en skärpning av Birkhoff-von Neumann-satsen med HK Farahat som säger att varje dubbelstokastisk matris kan erhållas som en konvex kombination av permutationsmatriser . I Mirskys version av detta teorem visade han att högst $n^{2}-2n+2$ permutationsmatriser behövs för att representera varje $n\times n$ dubbelstokastisk matris, och att vissa dubbelstokastiska matriser behöver så här många permutationsmatriser. I modern polyhedral kombinatorik kan detta resultat ses som ett specialfall av Carathéodorys sats applicerad på Birkhoff-polytopen . Han arbetade också med Hazel Perfect på spektrat av dubbelstokastiska matriser.

Kombinatorik

I mitten av 1960-talet flyttade Mirskys forskningsfokus igen, till kombinatorik , efter att ha använt Halls äktenskapsteorem i samband med hans arbete med dubbelstokastiska matriser. På detta område skrev han läroboken Transversal Theory (Academic Press, 1971), samtidigt som han redigerade en festskrift för Richard Rado . Han härledde villkor för par av uppsättningsfamiljer att ha samtidiga transversaler, nära relaterade till senare arbete med nätverksflödesproblem . Han var också en av de första att inse vikten av transversala matroider , och han visade att transversala matroider kan representeras med linjär algebra över transcendentala förlängningar av de rationella talen .

Mirskys teorem , en dubbelversion av Dilworths teorem publicerad av Mirsky 1971, säger att i varje ändlig partiellt ordnad uppsättning är storleken på den längsta kedjan lika med det minsta antalet antikedjor som uppsättningen kan delas in i. Även om det är mycket lättare att bevisa än Dilworths teorem har det många av samma konsekvenser.