Lander, Parkin och Selfridge gissningar

Lander , Parkin och Selfridge gissningar gäller heltalslösningar av ekvationer som innehåller summor av lika potenser. Ekvationerna är generaliseringar av de som beaktas i Fermats sista sats . Gissningen är att om summan av några k -te potenser är lika med summan av några andra k -te potenser, så måste det totala antalet termer i båda summorna tillsammans vara minst k .

Bakgrund

Diofantiska ekvationer , såsom heltalsversionen av ekvationen a ² + b ² = c ² som förekommer i Pythagoras sats , har studerats för deras heltalslösningsegenskaper i århundraden. Fermats sista teorem säger att för potenser större än 2 , har ekvationen a ^k + b ^k = c ^{k inga lösningar i} heltal som inte är noll a , b , c . Att utöka antalet termer på endera eller båda sidor, och tillåta högre potenser än 2, ledde till att Leonhard Euler 1769 föreslog att för alla heltal n och k större än 1, om summan av n k: te potenserna av positiva heltal är själv en k: te potens, då är n större än eller lika med k .

I symboler, om $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$ där n > 1 och $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b$ är positiva heltal, då var hans gissning att n ≥ k .

1966 fann Leon J. Lander och Thomas R. Parkin ett motexempel till Eulers summa av maktförmodan för k = 5:

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ .

Under de efterföljande åren hittades ytterligare motexempel , inklusive för k = 4. Det senare motbevisade den mer specifika Euler-kvartalsförmodan , nämligen att a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ = d ⁴ inte har några positiva heltalslösningar. Faktum är att den minsta lösningen, som hittades 1988, är

414560 ⁴ + 217519 ⁴ + 95800 ⁴ = 422481 ⁴ .

Gissa

1967 antog LJ Lander, TR Parkin och John Selfridge att om ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i }^{k}=\summa _{j=1}^{m}b_{j}^{k}} , där a i$ ≠ b _j är positiva _heltal för alla 1 ≤ i ≤ n och 1 ≤ j ≤ m , sedan m + n ≥ k . Lika summan av lika potenser förkortas ofta som ( k , m , n ).

Små exempel med $m=n={\frac {k}{2}}$ (relaterade till generaliserat taxinummer ) inkluderar $59 ^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}$ (känd för Euler) och $3 ^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}$ (hittades av K. Subba Rao 1934).

Gissningen innebär i specialfallet m = 1 att if

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$

(under de villkor som anges ovan) då n ≥ k − 1.

För detta speciella fall av m = 1, är några av de kända lösningarna som uppfyller den föreslagna begränsningen med n ≤ k , där termer är positiva heltal , och därför ger en uppdelning av en potens i lika potenser:

k = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ .

k = 4

95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ , (Roger Frye, 1988)

30 ⁴ + 120 ⁴ + 272 ⁴ + 315 ⁴ = 353 ⁴ , (R. Norrie, (1911)

Fermats sista sats säger att för k = 4 är gissningen sann.

k = 5

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ , (Lander, Parkin, 1966)

7 ⁵ + 43 ⁵ + 57 ⁵ + 80 ⁵ + 100 ⁵ = 107 ⁵ , (Sastry, tredje minsta, 1934 )

k = 6

(Inga kända. Från och med 2002 finns det inga lösningar vars slutgiltiga term är ≤ 730000. )

k = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 565 8 ⁷ = 7 127 ⁷ , (M. Dodrill, 1999)

k = 8

8 ⁺ 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ⁸ + 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ , (Scott Chase,

90 9 k

2000) .)

Nuvarande status

eller om det finns icke-triviala lösningar som skulle vara motexempel, såsom a ^k + b ^k = c ^k + d ^k för k ≥ 5. Triviala lösningar inkluderar vissa fall med sammansatta exponenter k , t.ex. = 6, eftersom det för sådana k = p * q är möjligt att ha lösningar ( a ^p ) ^q + ( b ^p ) ^q = ( a ^q ) ^p + ( b ^q ) ^p , för positiva heltal a och b .

Se även

• Beals gissning
• Fermat–katalansk gissning
• Jacobi–Madden ekvation
• Lista över olösta problem i matematik
• Experimentell matematik (motexempel till Eulers gissning av potenssumman, speciellt minsta lösningen för k = 4)
• Problem med Prouhet–Tarry–Escott
• Pythagoras fyrdubbla
• Summor av potenser , en lista över relaterade gissningar och satser

•    Guy, Richard K. (2004). Olösta problem i talteorin . Problemböcker i matematik (3:e uppl.). New York, NY: Springer-Verlag . D1. ISBN 0-387-20860-7 . Zbl 1058.11001 .

externa länkar

• EulerNet: Beräknar minimala lika stora summor av lika krafter
• Jaroslaw Wroblewski Lika belopp av lika krafter
• Tito Piezas III: En samling algebraiska identiteter
• Weisstein, Eric W. "Diofantisk ekvation - 5:e krafterna" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Diofantisk ekvation - 6:e krafterna" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Diophantinequation--7th Powers" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Diofantisk ekvation - 8:e krafter" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Eulers summa av maktförmodan" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Euler Quartic Conjecture" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Diofantisk ekvation - 4:e krafterna" . MathWorld .
• Eulers gissning på library.thinkquest.org
• En enkel förklaring av Eulers gissning i matematik är bra för dig!
• Matematiker hittar nya lösningar på ett uråldrigt pussel
• Ed Pegg Jr. Power Sums , Math Games