Fermat–katalansk gissning

I talteorin är den Fermat-katalanska gissningen en generalisering av Fermats sista sats och av katalanska gissningar , därav namnet. Gissningen säger att ekvationen

$a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$

 

 

 

 

()

har bara ändligt många lösningar ( a , b , c , m , n , k ) med distinkta trillingar av värden ( a ^m , b ⁿ , c ^k ) där a , b , c är positiva coprime heltal och m , n , k är positiva heltal uppfyller

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.$

 

 

 

 

()

Olikheten på m , n och k är en nödvändig del av gissningen. Utan olikheten skulle det finnas oändligt många lösningar, till exempel med k = 1 (för alla a , b , m , och n och med c = a ^m + b ⁿ ) eller med m , n och k alla lika med två ( för de oändligt många kända Pythagoras trippel ).

Kända lösningar

Från och med 2015 är följande tio lösningar till ekvation (1) som uppfyller kriterierna för ekvation (2) kända:

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$ (för $m>6$ för att uppfylla ekv. 2)

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$7^{3}+13^{ 2}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3 }\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

${\2^style{32 }+15312283^{2}=113^{7}\;}$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

Den första av dessa (1 ^m + 2 ³ = 3 ² ) är den enda lösningen där en av a , b eller c är 1, enligt den katalanska gissningen , bevisad 2002 av Preda Mihăilescu . Även om detta fall leder till oändligt många lösningar av (1) (eftersom man kan välja valfri m för m > 6), ger dessa lösningar bara en enda triplett av värden ( a ^m , b ⁿ , c ^k ).

Delvis resultat

Det är känt av Darmon–Granville-satsen, som använder Faltings sats , att för alla fasta val av positiva heltal m , n och k som uppfyller (2) existerar endast ändligt många coprime-trippel ( a , b , c ) som löser (1) . Den fullständiga Fermat-katalanska gissningen är dock starkare eftersom den tillåter exponenterna m , n och k att variera.

Abc -förmodan antyder den Fermat-katalanska förmodan.

För en lista över resultat för omöjliga kombinationer av exponenter, se Beal conjecture#Partial results . Beals gissning är sann om och bara om alla Fermat-katalanska lösningar har m = 2, n = 2 eller k = 2.

Se även

• Summor av potenser , en lista över relaterade gissningar och satser

externa länkar

• Perfekta krafter: Pillais verk och deras utveckling . Waldschmidt, M.