Landau kinetiska ekvation

Landaus kinetiska ekvation är en transportekvation av svagt kopplade laddade partiklar som utför Coulomb-kollisioner i ett plasma .

Ekvationen härleddes av Lev Landau 1936 som ett alternativ till Boltzmann-ekvationen i fallet med Coulomb-interaktion. När den används med Vlasov-ekvationen , ger ekvationen tidsutvecklingen för kollisionsplasma, därför anses den vara en kinetisk stapelmodell i teorin om kollisionsplasma.

Översikt

Definition

Låt $f(v,t)$ vara en enpartikeldistributionsfunktion . ekvationen lyder:

{\frac {\partial f}{\partial t}}=B{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{3 }}dw{\frac {\left(u^{2}\delta _{ij}-u_{i}u_{j}\right)}{u^{3}}}\left({\frac {\ partiell }{\partial v_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial w_{j}}}\right)f(v)f(w)\right)

u=vw

Den högra sidan av ekvationen är känd som Landau-kollisionsintegralen (parallellt med Boltzmann-kollisionsintegralen) .

$B$ erhålls genom att integrera över den intermolekylära potentialen $U(r)$ :

B={\frac {1}{8\pi }}\int _{0}^{\infty }dr\,r^ {3}{\hat {U}}(r)^{2}

{\hat {U}}(|k|)=\int _{\mathbb {R} ^{ 3}}dx\,U(|x|)e^{ikx}

För många intermolekylära potentialer (särskilt potenslagar där ${\textstil U(r)\propto {\frac {1}{r^{n}}}} ),$ uttrycket för ${\ visningsstil B}$ avviker. Landaus lösning på detta problem är att införa Cutoffs i små och stora vinklar.

Används

Ekvationen används främst inom statistisk mekanik och partikelfysik för att modellera plasma. Som sådan har den använts för att modellera och studera plasma i termonukleära reaktorer. Det har också sett användning i modellering av aktivt material .

Ekvationen och dess egenskaper har studerats på djupet av Alexander Bobylev.

Avledningar

Den första härledningen gavs i Landaus originaltidning. Den grova idén för härledningen:

Om man antar en rumsligt homogen gas av punktpartiklar med enhetsmassa som beskrivs av $f(v,t)$ , kan man definiera en korrigerad potential för Coulomb-interaktioner , ${\textstyle {\hat {U}}_{ij}=U_{ij}\exp \left(-{\frac {r_{ij}}{r_{D}}}\ höger)}$ , där $U_{ij}$ är Coulomb-potentialen , ${\textstyle U_{ij}={\frac {e_{i}e_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}} och r D {\displaystyle r_$ { $}$ är Debye radie . Potentialen ${\hat {U_{ij}}}$ kopplas sedan in i Boltzmann-kollisionsintegralen (kollisionstermen i Boltzmann-ekvationen ) och löses för den asymptotiska huvudtermen i gränsen $r_{D}\rightarrow \infty$ .

publicerades den första formella härledningen av ekvationen från BBGKY-hierarkin av Nikolay Bogolyubov .

Fokker-Planck-Landau-ekvationen

1957 härleddes ekvationen oberoende av Marshall Rosenbluth . Genom att lösa Fokker-Planck-ekvationen under en omvänd kvadratisk kraft kan man få:

{

där $h_{i},g_{i}$ är Rosenbluth-potentialerna :

h_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|vw|}}

g_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}{\frac {m_{j}}{m_{i}}}\int dw{\frac {f_{i }(w,t)}{|vw|}}

för $K_{ij}={\frac {e_{i}^{2}e_{j}^ {2}}{m_{i}m_{j}}},i=1,2,\dots ,n$ Fokker-Planck-representationen av ekvationen används främst för sin bekvämlighet i numerisk modellering och beräkningar.

Fokker-Planck-representationen av ekvationen används främst för dess bekvämlighet i numeriska beräkningar.

Den relativistiska Landau kinetiska ekvationen

En relativistisk version av ekvationen publicerades 1956 av Gersh Budker och Spartak Belyaev .

Med tanke på relativistiska partiklar med momentum $p=(p^{1},p^{2},p^{3})\in \mathbb {R } ^{3}$ och energi ${\textstyle p^{0}={\sqrt {1+|p|^{2}}}}$ , ekvationen lyder: