Kvasistationär distribution

Sannolikt är en kvasistationär fördelning en slumpmässig process som tillåter ett eller flera absorberande tillstånd som nås nästan säkert , men som initialt är fördelat så att den kan utvecklas under lång tid utan att nå den. Det vanligaste exemplet är utvecklingen av en befolkning: den enda jämvikten är när det inte finns någon kvar, men om vi modellerar antalet människor är det troligt att det förblir stabilt under en lång tid innan det så småningom kollapsar.

Formell definition

Vi betraktar en Markov-process $(Y_{t})_{t\geq 0}$ med värden i ${\mathcal {X}}$ . Det finns en mätbar uppsättning ${\mathcal {X}}^{\mathrm {tr} }$ av absorberande tillstånd och ${\mathcal {X}}^{ a}={\mathcal {X}}\setminus {\mathcal {X}}^{\operatörsnamn {tr} }$ . Vi betecknar med $T$ träfftiden för ${\displaystyle {\mathcal {X}}^{\operatörsnamn {tr} }} ,$ även kallad dödandetid. Vi betecknar med $\{\operatörsnamn {P} _{x}\mid x\i {\mathcal {X}}\}$ familjen av distributioner där $\operatörsnamn {P} _{x}$ har ursprungligt skick $Y_{0}=x\in {\mathcal {X}}$ . Vi antar att ${\mathcal {X}}^{\operatörsnamn {tr} }$ nästan säkert nås, dvs $\forall x\i {\mathcal {X}},\operatörsnamn {P} _{x}(T<\infty )=1$ .

Den allmänna definitionen är: ett sannolikhetsmått $\nu$ på ${\mathcal {X}}^{a}$ sägs vara en kvasistationär fördelning (QSD) om för varje mätbar mängd $B$ som ingår i ${\mathcal {X}}^{a}$ ,

$$\forall t\geq 0,\operatörsnamn {P} _{\nu }(Y_{t}\in B \mid T>t)=\nu (B)$$

där $\operatörsnamn {P} _{\nu }=\int _{{\mathcal {X}}^{a}}\operatörsnamn {P} _ {x}\,\mathrm {d} \nu (x)$ .

Speciellt $\forall B\in {\mathcal {B}}({\mathcal {X}}^{a}),\forall t\geq 0,\operatörsnamn {P} _{\nu }(Y_{t }\in B,T>t)=\nu (B)\operatörsnamn {P} _{\nu }(T>t).$

Allmänna resultat

Dödande tid

Från antagandena ovan vet vi att dödningstiden är ändlig med sannolikhet 1. Ett starkare resultat än vi kan härleda är att dödningstiden är exponentiellt fördelad: om $\nu$ är en QSD så finns det $\theta (\nu )>0$ så att $\forall t\in \mathbf {N} ,\operatörsnamn {P} _{\nu}(T>t)=\exp(-\theta (\nu)\ gånger t)$ .

Dessutom, för alla $\vartheta <\theta (\nu )$ får vi $\operatorname {E} _{\nu }(e ^{\vartheta t})<\infty$ .

Förekomsten av en kvasistationär distribution

För det mesta är frågan om en QSD finns eller inte i ett givet ramverk. Från de tidigare resultaten kan vi härleda ett villkor som är nödvändigt för denna existens.

Låt $\theta _{x}^{*}:=\sup\{\theta \mid \operatörsnamn {E} _ {x}(e^{\theta T})<\infty \}$ . Ett nödvändigt villkor för existensen av en QSD är $\exists x\in {\mathcal {X}}^{a},\theta _{x}^{*} >0$ och vi har likheten $\theta _{x}^{*}=\liminf _{t\to \infty }-{\frac {1}{t}}\log(\operatörsnamn {P} _{x}(T> t)).$

Dessutom, från föregående stycke, om $\nu$ är en QSD då $\operatorname {E} _{\nu }\left(e^ {\theta (\nu )T}\right)=\infty$ . Som en konsekvens, om $\vartheta >0$ uppfyller ${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {X}} ^{a}}\{\operatörsnamn {E} _{x}(e^{\vartheta T})\}<\infty } då kan det inte finnas någon$ QSD $\nu$ så att $\vartheta =\theta (\nu)$ eftersom detta annars skulle leda till motsägelsen $\infty =\operatörsnamn {E} _{\nu }\left(e^{\theta (\nu )T}\right)\leq \sup _{x\in {\mathcal {X}}^{a}}\{\operatörsnamn {E} _{x}(e^{\theta (\nu )T})\}<\infty$ .

Ett tillräckligt villkor för att en QSD ska existera ges med tanke på övergångssemigruppen $(P_{t},t\geq 0)$ för processen innan avlivning. Sedan, under villkoren att ${\mathcal {X}}^{a}$ är ett kompakt Hausdorff-utrymme och att $P_{1}$ bevarar uppsättningen av kontinuerliga funktioner, dvs. $P_{1}({\mathcal {C}}({\mathcal {X}}^{a}))\subseteq {\mathcal {C} }({\mathcal {X}}^{a})$ , det finns en QSD.

Historia

Wrights arbeten om genfrekvens 1931 och Yaglom om förgreningsprocesser 1947 innehöll redan idén om sådana distributioner. Termen kvasistationaritet tillämpad på biologiska system användes sedan av Bartlett 1957, som senare myntade "kvasistationär distribution".

Kvasistationära distributioner var också en del av klassificeringen av dödade processer som gavs av Vere-Jones 1962 och deras definition för finita tillstånd Markov-kedjor gjordes 1965 av Darroch och Seneta.

Exempel

Kvasistationära distributioner kan användas för att modellera följande processer:

• Utveckling av en befolkning med antalet människor: den enda jämvikten är när det inte finns någon kvar.
• Utveckling av en smittsam sjukdom i en befolkning med antalet sjuka: den enda jämvikten är när sjukdomen försvinner.
• Överföring av en gen: vid flera konkurrerande alleler mäter vi antalet personer som har en och det absorberande tillståndet är när alla har samma.
• Väljarmodell : där alla påverkar en liten uppsättning grannar och åsikter sprids, studerar vi hur många som röstar på ett visst parti och en jämvikt uppnås först när partiet inte har någon väljare, eller hela befolkningen röstar på det.