Övergångskärna

I sannolikhetsmatematiken är en övergångskärna eller kärna en funktion i matematik som har olika tillämpningar. Kärnor kan till exempel användas för att definiera slumpmässiga mått eller stokastiska processer . Det viktigaste exemplet på kärnor är Markov-kärnorna .

Definition

Låt $(S,{\mathcal {S}})$ , $(T,{\mathcal {T}})$ vara två mätbara utrymmen . En funktion

$\kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]$

kallas en (övergångs)kärna från $S$ till $T$ om följande två villkor gäller:

• För alla fasta ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}} är$ s

$\displaystyle s\mapsto \kappa (s,B)}$

mappningen ${\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])$ - mätbar ;

• För varje fast ${\displaystyle s\in S} är$ avbildningen

$B\mapsto \kappa (s,B)$

ett mått på ${\ displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ .

Klassificering av övergångskärnor

Övergångskärnor klassificeras vanligtvis efter de mått som de definierar. Dessa åtgärder definieras som

$\kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]$

med

$\kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)$

för alla $B\in {\mathcal {T}}$ och alla $s\in S$ . Med denna notation anropas kärnan $\kappa$

• en substokastisk kärna , sub-sannolikhetskärna eller en sub-Markov kärna om alla $\kappa _{s}$ är subsannolikhetsmått
• en Markov kärna , stokastisk kärna eller sannolikhetskärna om alla $\kappa _{s}$ är sannolikhetsmått
• en finit kärna om alla $\kappa _{s}$ är finita mått
• en $\sigma$ -ändlig kärna om alla $\kappa _{s}$ är $\sigma$ -ändliga mått
• en s-finit kärna är en kärna som kan skrivas som en räknebar summa av finita kärnor
• en enhetlig $\sigma$ -ändlig kärna om det finns högst uträkneligt många mätbara mängder $B_{1},B_{2},\dots$ i $T$ med $\kappa _{s}(B_{i})<\infty$ för alla $s\in S$ och alla $i\in \mathbb {N}$ .

Operationer

I det här avsnittet, låt $(S,{\mathcal {S}})$ , $(T,{\mathcal {T}})$ och $(U,{\mathcal {U}})$ vara mätbara utrymmen och beteckna produkten σ-algebra av ${\mathcal {S}}$ och ${\mathcal {T }}$ med ${\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}$

Produkt av kärnor

Definition

Låt $\kappa ^{1}$ vara en s-ändlig kärna från $S$ till $T$ och $\kappa ^{2}$ vara en s- finit kärna från $S\times T$ till $U$ . Då definieras produkten ${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}} av de två kärnorna som$

$\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]$

$\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm { d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)$

för alla $A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}$ .

Egenskaper och kommentarer

Produkten av två kärnor är en kärna från $S$ till $T\times U$ . Det är återigen en s-ändlig kärna och är en $\sigma$ -ändlig kärna om $\kappa ^{1}$ och $\kappa ^{2}$ är ${ \displaystyle \sigma }$ -ändliga kärnor. Produkten av kärnor är också associativ , vilket betyder att den uppfyller

$(\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\ kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})$

för tre lämpliga s-finita kärnor $\kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}$ .

Produkten är också väldefinierad om $\kappa ^{2}$ är en kärna från $T$ till $U$ . I det här fallet behandlas den som en kärna från $S\times T$ till $U$ som är oberoende av $S$ . Detta motsvarar inställning

$\kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)$

för alla $A\in {\mathcal {U}}$ och alla $s\in S$ .

Sammansättning av kärnor

Definition

Låt $\kappa ^{1}$ vara en s-ändlig kärna från $S$ till $T$ och $\kappa ^{2}$ en s-ändlig kärna från $S\times T$ till $U$ . Då definieras sammansättningen ${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}} av de två kärnorna som$

$\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]$

$(s,B)\mapsto \int _ {T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)$

för alla $s\in S$ och alla $B\in {\mathcal {U}}$ .

Egenskaper och kommentarer

Kompositionen är en kärna från $S$ till $U$ som återigen är s-ändlig. Sammansättningen av kärnor är associativ , vilket betyder att den uppfyller

$(\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\ kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})$

för tre lämpliga s-finita kärnor $\kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}$ . Precis som produkten av kärnor är kompositionen också väldefinierad om $\kappa ^{2}$ är en kärna från $T$ till $U$ .

En alternativ notation är för kompositionen $\kappa ^{1}\kappa ^{2}$

Kärnor som operatörer

Låt ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}} vara$ uppsättningen av positiva mätbara funktioner på $(S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})$ .

Varje kärna $\kappa$ från $S$ till $T$ kan associeras med en linjär operator

$A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}$

getts av

$(A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).$

Sammansättningen av dessa operatorer är kompatibel med sammansättningen av kärnor, dvs

$A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2 }}$