Franz-Keldysh-effekten

Franz -Keldysh-effekten är en förändring i optisk absorption av en halvledare när ett elektriskt fält appliceras. Effekten är uppkallad efter den tyske fysikern Walter Franz och den ryske fysikern Leonid Keldysh .

Karl W. Böer observerade först förändringen av den optiska absorptionskanten med elektriska fält under upptäckten av högfältsdomäner och gav detta namnet Franz-effekten. Några månader senare, när den engelska översättningen av Keldysh-tidningen blev tillgänglig, korrigerade han detta till Franz-Keldysh-effekten.

Som ursprungligen tänkt är Franz-Keldysh-effekten resultatet av vågfunktioner som "läcker" in i bandgapet. När ett elektriskt fält appliceras blir elektron- och hålvågfunktionerna luftiga funktioner snarare än plana vågor. Airy-funktionen inkluderar en "svans" som sträcker sig in i det klassiskt förbjudna bandgapet. Enligt Fermis gyllene regel , ju mer överlappning det finns mellan vågfunktionerna för en fri elektron och ett hål, desto starkare blir den optiska absorptionen. De luftiga svansarna överlappar något även om elektronen och hålet har något olika potentialer (något olika fysiska platser längs fältet). Absorptionsspektrumet inkluderar nu en svans vid energier under bandgapet och några svängningar ovanför det. Denna förklaring utelämnar dock effekterna av excitoner , som kan dominera optiska egenskaper nära bandgapet.

Franz-Keldysh-effekten uppträder i enhetliga, bulkhalvledare, till skillnad från den kvantbegränsade Stark-effekten , som kräver en kvantbrunn. Båda används för elektroabsorptionsmodulatorer . Franz-Keldysh-effekten kräver vanligtvis hundratals volt , vilket begränsar dess användbarhet med konventionell elektronik - även om detta inte är fallet för kommersiellt tillgängliga Franz-Keldysh-effekt elektroabsorptionsmodulatorer som använder en vågledargeometri för att styra den optiska bäraren.

Effekt på moduleringsspektroskopi

Absorptionskoefficienten är relaterad till dielektricitetskonstanten (särskilt den komplexa delen $\kappa$ ₂ ) . Från Maxwells ekvation kan vi enkelt ta reda på sambandet,

$\alpha ={\frac {2\omega k_{0}}{c}}={{\omega \kappa _{2}} \över {n_{0}c}}.$

₀₀ n och k är de reella och komplexa delarna av materialets brytningsindex. Vi kommer att överväga den direkta övergången av en elektron från valensbandet till ledningsbandet som induceras av det infallande ljuset i en perfekt kristall och försöka ta hänsyn till förändringen av absorptionskoefficienten för varje Hamiltonian med en trolig interaktion som elektron-foton, elektronhål, yttre fält. Dessa tillvägagångssätt följer av. Vi sätter det första syftet på den teoretiska bakgrunden för Franz-Keldysh-effekten och tredjederivatans moduleringsspektroskopi.

En elektron Hamiltonian i ett elektromagnetiskt fält

$H={1 \over 2m}(\mathbf {p} +e\mathbf {A} )^{2}+V(\ mathbf {r} )$

där A är vektorpotentialen och V ( r ) är en periodisk potential.

$\mathbf {A} ={1 \över 2}A_{0 }\mathbf {e} [e^{\mathrm {i} (\mathbf {k} _{p}\cdot \mathbf {r} -\omega t)}+e^{-\mathrm {i} (\ mathbf {k} _{p}\cdot \mathbf {r} -\omega t)}]$

( k _p och e är vågvektorn för em-fältet och enhetsvektorn .)

Att försumma kvadrattermen $A^{2}$ och använda relationen $\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} =\mathbf {p} \cdot \ mathbf {A}$ inom Coulomb-mätaren $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$ , får vi

$H\sim {p^{2} \over 2m}+V(\mathbf {r} )+{e \over m}\ mathbf {A} \cdot \mathbf {p}$

Använd sedan Bloch-funktionen $|jk\rangle =e^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{jk}(\ mathbf {r} )$ ( j = v, c som betyder valensband, ledningsband)

övergångssannolikheten kan erhållas så att

$w_{cv}={2\pi \over \hbar }|\langle ck'|{e \over m}\mathbf {A} \cdot \mathbf {p} |vk\rangle |^{2}\delta [E_{c}(k')-E_{v}(k)-\hbar \omega ]$

$={\pi e^{2} \över 2\hbar m^{2}}A_{0}^{2} |\langle ck'|\exp(\mathrm {i} \mathbf {k} _{p}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {e} \cdot \mathbf {p} |vk\rangle |^{ 2}\delta [E_{c}(k')-E_{v}(k)-\hbar \omega ]$

$\mathbf {e} \cdot \mathbf {p} _{cv}={1 \over V}\int _{v}e^{\mathrm {i} (\mathbf {k} _{p}+\mathbf {k} -\mathbf {k} ')\cdot \mathbf {r} }{u ^{*}}_{ck'}(\mathbf {r} )\mathbf {e} \cdot (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} )u_{vk}(\mathbf {r} ) d^{3}r$

Effektförlust av de elektromagnetiska vågorna per tidsenhet och volymenhet ger upphov till följande ekvation

$\hbar \omega w_{cv}={1 \over 2}\omega \kappa _{2}\epsilon _{0}{E_{0 }}^{2}$

Från förhållandet mellan det elektriska fältet och vektorpotentialen, ${\displaystyle \mathbf {E} =-{{\partial \mathbf {A} } \over {\partial t}}} ,$ vi kan sätta $E_{0}=\omega A_{0}$

Och slutligen kan vi få den imaginära delen av dielektricitetskonstanten och säkert absorptionskoefficienten. $\kappa ={{\pi e^{2}} \över {\epsilon _{0}m^ {2}\omega ^{2}}}\summa _{k,k'}|\mathbf {e} \cdot \mathbf {p} _{cv}|^{2}\delta [E_{c}( k')-E_{v}(k)-\hbar \omega ]\delta _{kk'}$

2-kropp (elektronhål) Hamiltonian med EM-fält

En elektron i valensbandet (vågvektor k) exciteras av fotonabsorption in i ledningsbandet (vågvektorn vid bandet är $k'=k_{e}$ ) och lämnar ett hål i valensbandet (hålets vågvektor är $k_{h}=-k$ ). I det här fallet inkluderar vi elektron-hål-interaktionen.( $V(r_{e}-r_{h})$ )

Tänker på den direkta övergången, $|k_{e}|,|k_{h}|$ är nästan samma. Men antag att den lilla skillnaden i rörelsemängden på grund av fotonabsorptionen inte ignoreras och det bundna tillstånd-elektron-hålparet är mycket svagt och den effektiva massapproximationen är giltig för behandlingen. Sedan kan vi göra upp följande procedur, vågfunktionen och vågvektorerna för elektronen och hålet

${\displaystyle \Psi _{ij}(r_{e},r_{h})=\psi _{ik_{e}}(r_{e})\psi _{jk_{h}}(r_{h})} ($ i, j är bandindexen, och r _e , r _h , k _e , k _h är koordinaterna och vågvektorerna för elektronen respektive hålet)

Och vi kan ta rörelsemängden Q så att $Q=k_{e}+k_{h}.$ och definiera Hamiltonian $H=H_{e}+H_{h} +V(r_{e}-r_{h})$

Sedan kan Bloch-funktioner för elektronen och hålet konstrueras med fastermen $A_{cv}^{n,Q}$$\Psi ^{n,Q}(r_ {e},r_{h})=\summa _{c,k_{e},v,k_{h}}A_{cv}^{n,Q}(k_{e},k_{h})\ psi _{ck_{e}}(r_{e})\psi _{vk_{h}}(r_{h})$

Om V varierar långsamt över integralens avstånd kan termen behandlas som följande.

$[\mathrm {E} _{c}(k_{e})+\mathrm {E} _{h}(k_{h})+V(r_{e}-r_{h})-\epsilon ]A_{c,V}^ {n,Q}(k_{e},k_{h})=0$

 

 

 

 

()

här antar vi att lednings- och valensbanden är paraboliska med skalära massor och att högst upp i valensbandet ${\displaystyle \mathrm {E} _{v}(0)=0} ,$ dvs ${\displaystyle \mathrm {E} _{c}(k_{e}) ={{\hbar ^{2}k_{e}^{2}} \över {2m_{e}}}+\mathrm {E} _{G},\mathrm {E} _{v}(k_{ h})={{\hbar ^{2}k_{h}^{2}} \över {2m_{h}}}} ($ E $\displaystyle \mathrm {E} _{G}}$ är energin glipa)

Fouriertransformen av ${\displaystyle A_{cv}^{n,Q}(k_{e},k_{h})} kommer$ k in i ekv.( 1 ) , kan den effektiva massekvationen för excitonen skrivas som

$[(-{\hbar ^{2} \over 2M}\nabla ^{2})+(-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2} -{e^{2} \over 4\pi \epsilon r})]\Phi ^{n,k}(r,R)=[\mathrm {E} -\mathrm {E} _{G}]\ cdot \Phi ^{n,Q}(r,R)$

$r=r_{ e}-r_{h},R={{m_{e}r_{e}+m_{h}r_{h}} \över {m_{e}+m_{h}}},{1 \over \ mu }={1 \over m_{e}}+{1 \over m_{h}},M=m_{e}+m_{h}$

då ges lösningen av ekv av

$\Psi ^{n,Q}(r,R)=\Psi _{Q}(R)\psi _{ n}(r)$$\Psi ^{n,Q}(r,R)={1 \over {\sqrt {V}}}\exp(iQ\cdot R)\phi _{n}(r)$

$\phi _{n}(r)$ kallas enveloppfunktionen för en exciton. Grundtillståndet för excitonen ges i analogi med väteatomen .

då är den dielektriska funktionen

$\kappa _{2}(\omega )={\pi e^{2} \över {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}|e\cdot p_{cv}|^{2}\summa _{\lambda }|\phi _{\lambda }(0)|^{2}\delta (\mathrm {E} _{G}+\mathrm {E} _{\lambda }-\hbar \omega )$

 

 

 

 

()

detaljerad beräkning är inne.

Franz-Keldysh-effekten

Franz-Keldysh-effekten betyder att en elektron i ett valensband kan tillåtas exciteras till ett ledningsband genom att absorbera en foton med sin energi under bandgapet. Nu tänker vi på den effektiva massekvationen för den relativa rörelsen av elektronhålspar när det yttre fältet appliceras på en kristall. Men vi ska inte ta en ömsesidig potential av elektron-hålpar in i Hamiltonian.

När Coulomb-interaktionen försummas är den effektiva massekvationen

$\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2} -eE\cdot r\right]\psi (r)=\epsilon \psi (r)$ .

Och ekvationen kan uttryckas,

${\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d ^{2} \over {dr_{i}^{2}}}-eE_{i}r_{i}-\epsilon _{i}\right]\psi (r_{i})=0} ($ där $\mu _{i}$ är värdet i riktning mot huvudaxeln för den reducerade effektiva masstensorn)

Använda förändring av variabler:

$\hbar \theta _{i}=\left({ {e^{2}E_{i}^{2}\hbar ^{2}} \över {2\mu _{i}}}\right)^{1/3},\xi _{i}= {{\epsilon _{i}+eE_{i}r_{i}} \över {\hbar \theta _{i}}}$

då är lösningen

$\psi (\xi _{x },\xi _{y},\xi _{z})=C_{x}C_{y}C_{z}Ai(-\xi _{x})Ai(-\xi _{y})Ai (-\xi _{z})$

där $C_{i}={{\sqrt {e|E_{i}|}} \över {\hbar \theta }}$

Till exempel, $E_{y}=E_{z}=0,E_{x}$ lösningen ges av

$\psi ( x,y,z)=C\cdot Ai\left({{-eEx-\epsilon +\hbar ^{2}k_{y}^{2}/2\mu _{y}+\hbar ^{2 }k_{z}^{2}/2\mu _{z}} \över {\hbar \theta _{x}}}\right)$

Dielektricitetskonstanten kan erhållas genom att infoga detta uttryck i Ekv.( 2 ), och genom att ändra summeringen med avseende på λ till $\int _{-\infty }^ {\infty }d\epsilon _{x}d\epsilon _{y}d\epsilon _{z}$

Integralen med avseende på $d\epsilon _{x}d\epsilon _{y}$ ges av den sammanfogade tillståndstätheten för tvåD-bandet. (den gemensamma tätheten av tillstånd är inget annat än betydelsen av DOS för både elektron och hål samtidigt.)

${\kappa (\omega ,E)}={{\pi ^{2}} \över {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}|e\cdot p_ {cv}|^{2}{{e|E_{x}|} \över {\hbar \theta _{x}^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }{J ^{2D}}_{cv}(\hbar \omega -\epsilon _{G}-\epsilon _{x})\cdot \left|Ai\left(-{{\epsilon _{x}} \over {\hbar \theta }}\right)^{2}\right|d\epsilon _{x}.$

där $J_{cv}^{2D}(\hbar \omega )={(\mu _{y}\mu _{z})^{1/2} \over \pi \hbar ^{2}} ,\hbar \omega >\epsilon _{G}.$

$=0,\hbar \omega <\epsilon _{G}.$

Sedan sätter vi $\eta ={{\hbar \omega -\epsilon _{G}} \över {\hbar \theta _{x}}}$

Och tänk på fallet vi hittar $\eta <<0$ , alltså $\hbar \omega <<\epsilon _{G}$ med den asymptotiska lösningen för Airy fungerar i denna gräns.

Slutligen, $\kappa _{2}(\omega ,E_ {x})={1/2}\kappa _{2}(\omega )\exp \left[-{4 \over 3}\left({{\epsilon _{G}-\hbar \omega } \ över {\hbar \theta _{x}}}\right)\right]$

Därför finns den dielektriska funktionen för den infallande fotonenergin under bandgapet! Dessa resultat indikerar att absorption sker för en infallande foton.

Se även

• Kvantbegränsad Stark-effekt

Anteckningar

• W. Franz, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorptionskante , Z. Naturforschung 13a (1958) 484–489.
• LV Keldysh, Behavior of Non-Metallic Crystals in Strong Electric Fields, J. Exptl. Teoret. Phys. (USSR) 33 (1957) 994–1003, översättning: Soviet Physics JETP 6 (1958) 763–770.
• LV Keldysh, Ionization in the Field of a Strong Electromagnetic Wave, J. Exptl. Teoret. Phys. (USSR) 47 (1964) 1945–1957, översättning: Soviet Physics JETP 20 (1965) 1307–1314.
•   Williams, Richard (1960-03-15). "Elektriskt fältinducerad ljusabsorption i CdS". Fysisk granskning . American Physical Society (APS). 117 (6): 1487–1490. Bibcode : 1960PhRv..117.1487W . doi : 10.1103/physrev.117.1487 . ISSN 0031-899X .
• JI Pankove, Optical Processes in Semiconductors , Dover Publications Inc. New York (1971).
• H. Haug och SW Koch, "Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors", World Scientific (1994).
• C. Kittel, " Introduction to Solid State Physics ", Wiley (1996).