Kurepa träd
I mängdteorin är ett Kurepa-träd ett träd ( T , <) med höjden ω 1 , vars nivåer är högst räknebara och har minst ℵ 2 många grenar. Detta koncept introducerades av Kurepa ( 1935 ). Förekomsten av ett Kurepa-träd (känd som Kurepa-hypotesen , även om Kurepa ursprungligen antog att detta var falskt ) överensstämmer med ZFC :s axiom : Solovay visade i opublicerat arbete att det finns Kurepa-träd i Gödels konstruerbara universum ( Jech 1971 ) . Mer exakt, förekomsten av Kurepa-träd följer av diamant plus-principen , som gäller i det konstruerbara universum. Å andra sidan, Silver ( 1971 ) visade att om en starkt otillgänglig kardinal är Lévy kollapsade till ω 2 då, i den resulterande modellen, finns det inga Kurepa-träd. Förekomsten av en otillgänglig kardinal är i själva verket ekvikonsistent med att Kurepa-hypotesen misslyckats, för om Kurepa-hypotesen är falsk så är kardinal ω 2 otillgänglig i det konstruerbara universum.
Ett Kurepa-träd med färre än 2 ℵ 1 grenar är känt som ett Jech-Kunen-träd .
Mer allmänt om κ är en oändlig kardinal, så är ett κ-Kurepa-träd ett träd med höjden κ med mer än κ grenar men som mest |α| element av varje oändlig nivå α<κ, och Kurepa-hypotesen för κ är påståendet att det finns ett κ-Kurepa-träd. Ibland antas trädet också vara binärt. Förekomsten av ett binärt κ-Kurepa-träd är ekvivalent med existensen av en Kurepa-familj : en uppsättning av mer än κ-delmängder av κ så att deras skärningar med vilken som helst oändlig ordningsföljd α<κ bildar en uppsättning av kardinalitet som mest α. Kurepa-hypotesen är falsk om κ är en outsäglig kardinal , och omvänt visade Jensen att i det konstruerbara universum för vilken oräknelig vanlig kardinal κ som helst finns det ett κ-Kurepa-träd om inte κ är outsägligt.
Specialiserat ett Kurepa-träd
Ett Kurepa-träd kan "dödas" genom att framtvinga existensen av en funktion vars värde på en icke-rotnod är en ordinal mindre än nodens rang, så att när tre noder, varav en är en nedre gräns för den andra två, mappas till samma ordinal, då är de tre noderna jämförbara. Detta kan göras utan att kollapsa ℵ 1 och resulterar i ett träd med exakt ℵ 1 grenar.
Se även
- Jech, Thomas J. (1971), "Trees", Journal of Symbolic Logic , 36 : 1–14, doi : 10.2307/2271510 , JSTOR 2271510 , MR 0284331 , Zbl 0245.02054
- Jech, Thomas (2002). Mängdlära . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 .
- Kurepa, G. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés" , Publ. matematik. Univ. Belgrad , 4 : 1–138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401
- Silver, Jack (1971), "The independence of Kurepas conjecture and two-cardinal conjectures in model theory", Axiomatic Set Theory , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 383–390, MR 0277379 , Zbl 0255.02068