Kristallografisk restriktionssats

Den kristallografiska restriktionssatsen i sin grundläggande form baserades på observationen att rotationssymmetrierna för en kristall vanligtvis är begränsade till 2-faldigt, 3-faldigt, 4-faldigt och 6-faldigt. Emellertid kvasikristaller förekomma med andra diffraktionsmönstersymmetrier, såsom 5-faldigt; dessa upptäcktes inte förrän 1982 av Dan Shechtman .

Kristaller modelleras som diskreta gitter , genererade av en lista med oberoende finita översättningar ( Coxeter 1989) . Eftersom diskretitet kräver att avstånden mellan gitterpunkterna har en lägre gräns, gruppen av rotationssymmetrier för gittret vid vilken punkt som helst vara en finit grupp (alternativt är punkten det enda systemet som tillåter oändlig rotationssymmetri). Styrkan i satsen är att inte alla finita grupper är kompatibla med ett diskret gitter; i alla dimensioner kommer vi bara att ha ett begränsat antal kompatibla grupper.

Mått 2 och 3

Specialfallen 2D ( tapetgrupper ) och 3D ( rymdgrupper ) används mest i applikationer, och de kan behandlas tillsammans.

Gitterbevis

En rotationssymmetri i dimension 2 eller 3 måste flytta en gitterpunkt till en följd av andra gitterpunkter i samma plan, vilket genererar en regelbunden polygon av koplanära gitterpunkter. Vi begränsar nu vår uppmärksamhet till det plan i vilket symmetrin verkar ( Scherrer 1946 ), illustrerat med gittervektorer i figuren.

 
  Gitter begränsar polygoner Kompatibelt : 6-faldigt (3-faldigt), 4-faldigt (2-faldigt) Inkompatibelt : 8-faldigt, 5-faldigt

Betrakta nu en 8-faldig rotation och förskjutningsvektorerna mellan intilliggande punkter i polygonen. Om det finns en förskjutning mellan två gitterpunkter, upprepas samma förskjutning överallt i gittret. Så samla alla kantförskjutningar för att börja vid en enda gitterpunkt. Kantvektorerna vektorer , och deras 8-faldiga symmetri innebär en regelbunden oktagon av gitterpunkter runt samlingspunkten. Men detta är omöjligt , eftersom den nya oktagonen är ungefär 80% så stor som originalet. Betydelsen av krympningen är att den är obegränsad. Samma konstruktion kan upprepas med den nya oktagonen, och om och om igen tills avståndet mellan gitterpunkterna är så litet som vi vill; sålunda kan inget diskret gitter ha 8-faldig symmetri. Samma argument gäller för alla k -faldiga rotationer, för k större än 6.

Ett krympande argument eliminerar också 5-faldig symmetri. Tänk på en vanlig femhörning av gitterpunkter. Om den finns kan vi ta varannan kantförskjutning och (huvud-till-svans) sätta ihop en 5-punktsstjärna, där den sista kanten återgår till startpunkten. Topparna på en sådan stjärna är återigen hörn av en vanlig femhörning med 5-faldig symmetri, men cirka 60 % mindre än originalet.

Därmed är satsen bevisad.

Förekomsten av kvasikristaller och Penrose-plattor visar att antagandet om en linjär translation är nödvändigt. Penrose-plattor kan ha 5-faldig rotationssymmetri och ett diskret gitter, och varje lokal grannskap av plattsättningen upprepas oändligt många gånger, men det finns ingen linjär translation för plattsättningen som helhet. Och utan det diskreta gitterantagandet misslyckas ovanstående konstruktion inte bara att nå en motsägelse, utan producerar ett (icke-diskret) motexempel. Således kan 5-faldig rotationssymmetri inte elimineras av ett argument som saknar något av dessa antaganden. En Penrose-plattsättning av hela (oändliga) planet kan dock bara ha exakt 5-faldig rotationssymmetri (av hela plattsättningen) kring en enda punkt, medan de 4-faldiga och 6-faldiga gittren har oändligt många rotationssymmetricentra.

Trigonometri bevis

Betrakta två gitterpunkter A och B separerade av en translationsvektor r . Betrakta en vinkel α så att en vridning av vinkeln α runt valfri gitterpunkt är en symmetri av gittret. Rotation kring punkt B med α mappar punkt A till en ny punkt A'. På liknande sätt avbildar rotation kring punkt A med α B till en punkt B'. Eftersom båda rotationerna som nämns är symmetrioperationer måste A' och B' båda vara gitterpunkter. På grund av kristallens periodicitet måste den nya vektorn r' som förbinder dem vara lika med en heltalsmultipel av r :

$\mathbf {r} '=m\mathbf {r}$

med $m$ heltal. De fyra translationsvektorerna, tre med längden $r=|\mathbf {r} |$ och en, som förbinder A' och B', med längden $r'=|\mathbf {r} '|$ , bildar ett trapets. Därför ges längden på r' också av:

$r'=2r\cos \alpha -r.$

Att kombinera de två ekvationerna ger:

$\cos \alpha ={\frac {m+1}{2}}={\frac {M}{2}}$

där $M=m+1$ också är ett heltal. Med tanke på att $|\cos \alpha |\leq 1$ vi har tillåtit heltal $M\in \{-2,-1,0,1 ,2\}$ . Att lösa för möjliga värden för $\alpha$ avslöjar att de enda värdena i intervallet 0° till 180° är 0°, 60°, 90°, 120° och 180°. I radianer ges de enda tillåtna rotationerna som överensstämmer med gitterperiodiciteten av 2π/ n , där n = 1, 2, 3, 4, 6. Detta motsvarar 1-, 2-, 3-, 4- och 6-faldigt symmetri, respektive, och utesluter därför möjligheten till 5-faldig eller mer än 6-faldig symmetri.

Kort trigonometribevis

Betrakta en linje av atomer AOB , åtskilda av avståndet a . Rotera hela raden med θ = +2π/ n och θ = −2π/ n , med punkt O fixerad. Efter rotationen med +2π/ n flyttas A till gitterpunkten C och efter rotationen med -2π/ n flyttas B till gitterpunkten D . På grund av den antagna periodiciteten för gittret kommer de två gitterpunkterna C och D också att ligga på en linje direkt under den initiala raden; dessutom C och D att separeras med r = ma , med m ett heltal. Men med trigonometri är separationen mellan dessa punkter:

$2a\cos {\theta }=2a\cos {\frac {2\pi }{n}}$ .

Att likställa de två relationerna ger:

$2\cos {\frac {2\pi }{n}}=m$

Detta är uppfyllt med endast n = 1, 2, 3, 4, 6.

Matrisbevis

För ett alternativt bevis, överväg matrisegenskaper . Summan av de diagonala elementen i en matris kallas matrisens spår . I 2D och 3D är varje rotation en plan rotation, och kurvan är enbart en funktion av vinkeln. För en 2D-rotation är kurvan 2 cos θ; för en 3D-rotation, 1 + 2 cos θ.

Exempel

• Betrakta en 60° (6-faldig) rotationsmatris med avseende på en ortonormal bas i 2D.

${\begin{bmatrix}{1/2}&-{{\sqrt {3}}/2}\\{{\sqrt {3 }}/2}&{1/2}\end{bmatrix}}$

Spåret är exakt 1, ett heltal .

• Tänk på en 45° (8-faldig) rotationsmatris.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{1/{\sqrt {2}}}&-{1/{\sqrt {2}}}\\ {1/{\sqrt {2}}}&{1/{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} Spåret är$

2/ √ 2 , inte ett heltal.

Att välja en bas bildad från vektorer som spänner över gittret garanteras varken ortogonalitet eller enhetslängd, bara linjärt oberoende. Emellertid är spåret av rotationsmatrisen detsamma med avseende på vilken bas som helst. Spåret är en likhet invariant under linjära transformationer. I gitterbasen måste rotationsoperationen mappa varje gitterpunkt till ett heltal av gittervektorer, så inmatningarna av rotationsmatrisen i gitterbasen – och därmed spåret – är nödvändigtvis heltal. Liknande som i andra bevis, innebär detta att de enda tillåtna rotationssymmetrierna motsvarar 1,2,3,4 eller 6-faldig invarians. Till exempel kan tapeter och kristaller inte roteras 45° och förbli oföränderliga, de enda möjliga vinklarna är: 360°, 180°, 120°, 90° eller 60°.

Exempel

• Betrakta en 60° (360°/6) rotationsmatris med avseende på det sneda gitterbasen för en plattsättning med liksidiga trianglar.

${\begin{bmatrix}0&-1\\1&1\end{bmatrix}}$

Spåret är fortfarande 1. Determinanten ( alltid +1 för en rotation) bevaras också.

Den allmänna kristallografiska begränsningen av rotationer garanterar inte att en rotation kommer att vara kompatibel med ett specifikt gitter. Till exempel kommer en 60° rotation inte att fungera med ett kvadratiskt gitter; inte heller kommer en 90° rotation att fungera med ett rektangulärt galler.

Högre dimensioner

När gittrets dimension stiger till fyra eller mer behöver rotationerna inte längre vara plana; 2D-beviset är otillräckligt. Restriktioner gäller dock fortfarande, även om fler symmetrier är tillåtna. Till exempel har det hyperkubiska gittret en åttafaldig rotationssymmetri, motsvarande en åttafaldig rotationssymmetri för hyperkuben . Detta är av intresse, inte bara för matematik, utan för fysik av kvasikristaller under cut-and-project-teorin . I denna vy kan en 3D-kvasikristall med 8-faldig rotationssymmetri beskrivas som projektionen av en platta skuren från ett 4D-gitter.

Följande 4D-rotationsmatris är den tidigare nämnda åttafaldiga symmetrin för hyperkuben (och korspolytopen) :

$A={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\end{bmatrix}}.$

Att transformera denna matris till de nya koordinaterna som ges av

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-1/2&0&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&0\\-1/2&0&- 1/2&-{\sqrt {2}}/2\\-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\end{bmatrix}}} ger$ :

$BAB^{-1}={\begin{bmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt { 2}}/2&0&0\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\0&0&-{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2 \end{bmatrix}}.$

Denna tredje matris motsvarar då en rotation både med 45° (i de två första dimensionerna) och med 135° (i de två sista). Att projicera en platta av hyperkuber längs de två första dimensionerna av de nya koordinaterna producerar en Ammann-Beenker-platta (en annan sådan plattsättning produceras genom att projicera längs de två sista dimensionerna), som därför också har 8-faldig rotationssymmetri i genomsnitt.

A4 -gittret och F4-gittret har ordning 10 respektive ordning 12 rotationssymmetrier.

För att ange begränsningen för alla dimensioner är det bekvämt att flytta uppmärksamheten bort från enbart rotationer och koncentrera sig på heltalsmatriserna ( Bamberg, Cairns & Kilminster 2003) . Vi säger att en matris A har ordningen k när dess k -:te potens (men inte lägre), A ^k , är lika med identiteten. Således är en 6-faldig rotationsmatris i den liksidiga triangelbasen en heltalsmatris med ordning 6. Låt Ord _N beteckna den uppsättning heltal som kan vara ordningen för en N × N heltalsmatris. Till exempel Ord ₂ = {1, 2, 3, 4, 6}. Vi vill ange en explicit formel för Ord _N .

Definiera en funktion ψ baserad på Eulers totientfunktion φ; det kommer att mappa positiva heltal till icke-negativa heltal. För ett udda primtal , p , och ett positivt heltal, k , sätt ψ( p ^k ) lika med totientfunktionsvärdet, φ( p ^k ), som i detta fall är p ^k − p ^k−1 . Gör samma sak för ψ(2 ^k ) när k > 1. Sätt ψ(2) och ψ(1) till 0. Med aritmetikens grundsats kan vi skriva vilket annat positivt heltal som helst unikt som en produkt av primpotenser, m = _αp αk ^{_ _α} ; _{_} set ψ( m ) = Σ _α ψ( p _α ^{k _α} ). Detta skiljer sig från själva totienten, eftersom det är en summa istället för en produkt.

Den kristallografiska begränsningen i allmän form säger att Ord _N består av de positiva heltal m så att ψ( m ) ≤ N .

Minsta dimension för en given order OEIS : A080737

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
ψ( m )	0	0	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	6	8	16	6	18	6	8	10	22	6	20	12	18	8	28	6	30

För m >2 är värdena på ψ( m ) lika med två gånger den algebraiska graden av cos(2π/ m ); därför är ψ( m ) strikt mindre än m och når detta maximala värde om och endast om m är ett primtal .

Dessa ytterligare symmetrier tillåter inte en plan skiva att ha, säg, 8-faldig rotationssymmetri. I planet gäller fortfarande 2D-restriktionerna. Således har skärningarna som används för att modellera kvasikristaller nödvändigtvis tjocklek.

Heltalsmatriser är inte begränsade till rotationer; till exempel är en reflektion också en symmetri av ordning 2. Men genom att insistera på determinant +1 kan vi begränsa matriserna till korrekta rotationer .

Formulering i termer av isometrier

Den kristallografiska restriktionssatsen kan formuleras i termer av isometrier av det euklidiska rummet . En uppsättning isometrier kan bilda en grupp . Med en diskret isometrigrupp menar vi en isometrigrupp som mappar varje punkt till en diskret delmängd av R ^N , dvs. omloppsbanan för en punkt är en uppsättning isolerade punkter . Med denna terminologi kan den kristallografiska restriktionssatsen i två och tre dimensioner formuleras enligt följande.

För varje diskret isometrigrupp i två- och tredimensionellt rum som inkluderar översättningar som spänner över hela rummet, är alla isometrier av ändlig ordning av ordningen 1, 2, 3, 4 eller 6.

Isometrier av ordning n inkluderar, men är inte begränsade till, n -faldiga rotationer. Satsen utesluter också S ₈ , S ₁₂ , D _4d och D _6d (se punktgrupper i tre dimensioner ), även om de endast har 4- och 6-faldig rotationssymmetri. Rotationssymmetri av valfri ordning kring en axel är kompatibel med translationssymmetri längs den axeln.

Resultatet i tabellen ovan antyder att för varje diskret isometrigrupp i fyr- och femdimensionellt rum som inkluderar translationer som spänner över hela rummet, är alla isometrier av ändlig ordning av ordningen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 , 10 eller 12.

Alla isometrier av ändlig ordning i sex- och sjudimensionellt rum är av ordningen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 eller 30 .

Se även

• Kristallografisk punktgrupp
• Kristallografi

Anteckningar

•    Bamberg, John; Cairns, Grant; Kilminster, Devin (mars 2003), "The crystallographic restriction, permutations, and Goldbach's conjecture" ( PDF) , American Mathematical Monthly , 110 (3): 202–209, CiteSeerX 10.1.1.124.8582 , doi .6STOR : 4701/43710 , 3647934
•   Elliott, Stephen (1998), The Physics and Chemistry of Solids , Wiley, ISBN 978-0-471-98194-7
•   Coxeter, HSM (1989), Introduction to Geometry (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-50458-0
• Scherrer, W. (1946), "Die Einlagerung eines regulären Vielecks in ein Gitter" , Elemente der Mathematik , 1 (6): 97–98
• Shechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, JW (1984), "Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry", Physical Review Letters , 53 (20): 1951–1953, Bibcode : 1984PhRvL..53.1951S , doi : 10.513v/Phytt.130v

externa länkar

• Den kristallografiska begränsningen