Kostka nummer

De tre halvstandardiserade Young-tablåerna med formen λ = (3, 2) och vikten μ = (1, 1, 2, 1). De räknas av Kostka-talet K _λμ = 3.

I matematik är Kostka -talet K _λμ (beroende på två heltalspartitioner λ och μ) ett icke-negativt heltal som är lika med antalet semistandard Young-tablåer med formen λ och vikten μ. De introducerades av matematikern Carl Kostka i hans studie av symmetriska funktioner ( Kostka (1882) ) .

Till exempel, om λ = (3, 2) och μ = (1, 1, 2, 1), räknar Kostka-talet K _λμ antalet sätt att fylla en vänsterjusterad samling rutor med 3 i den första raden och 2 i den andra raden med 1 kopia av siffran 1, 1 kopia av siffran 2, 2 kopior av siffran 3 och 1 kopia av siffran 4 så att posterna ökar längs kolumner och inte minskar längs raderna. De tre sådana tablåerna visas till höger och K _{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = 3.

Exempel och specialfall

För varje partition λ är Kostka-talet K _λλ lika med 1: det unika sättet att fylla Young-diagrammet av formen λ = (λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _m ) med λ ₁ kopior av 1, λ ₂ kopior av 2, och så vidare, så att den resulterande tablån ökar svagt längs rader och strikt ökar längs kolumner är om alla 1:or placeras i den första raden, alla 2:or placeras i den andra raden, och så vidare. (Denna tablå kallas ibland för Yamanouchi-tablå med formen λ.)

Kostkatalet K _λμ är positivt (dvs. det finns halvstandardiserade unga tablåer med formen λ och vikten μ) om och endast om λ och μ båda är partitioner med samma heltal n och λ är större än μ i dominansordning .

I allmänhet finns det inga trevliga formler kända för Kostka-talen. Vissa speciella fall är dock kända. Till exempel, om μ = (1, 1, 1, ..., 1) är partitionen vars delar är alla 1 så är en semistandard Young-tablå med vikt μ en standard Young-tablå; antalet unga standardtabeller av en given form λ ges av kroklängdsformeln .

Egenskaper

En viktig enkel egenskap hos Kostka-tal är att K _λμ inte beror på ordningen för inmatningar av μ. Till exempel, K _{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = K _{(3, 2) (1, 1, 1, 2)} . Detta är inte omedelbart uppenbart från definitionen men kan visas genom att upprätta en bijektion mellan uppsättningarna av semistandard Young-tablåer med formen λ och vikterna μ och μ', där μ och μ' skiljer sig endast genom att byta två poster.

Kostka tal, symmetriska funktioner och representationsteori

Utöver den rent kombinatoriska definitionen ovan kan de också definieras som de koefficienter som uppstår när man uttrycker Schur-polynomet s _λ som en linjär kombination av monomisymmetriska funktioner m _μ :

$s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu },$

där λ och μ båda är partitioner av n . Alternativt kan Schur-polynom också uttryckas som

$s_{\lambda }=\summa _{\alpha }K_{\lambda \alpha }x^{\alpha },$

där summan är över alla svaga sammansättningar α av n och x ^α betecknar monomialen x ₁ ^{α ₁} ⋯ x _n ^{α _n} .

På grund av sambanden mellan symmetrisk funktionsteori och representationsteori uttrycker Kostka-tal också nedbrytningen av permutationsmodulen M _μ i termer av representationerna V _λ som motsvarar tecknet s _λ , dvs.

$M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \mu }V_{\lambda }.$

På nivån av representationer av den allmänna linjära gruppen ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} , räknar$ Kostka-talet K _λμ dimensionen av viktutrymmet motsvarande till μ i den irreducerbara representationen V _λ (där vi kräver att μ och λ ska ha högst n delar).

Exempel

Kostka-numren för partitioner med storleken högst 3 är följande:

K _{(0) (0)} = 1 (här representerar (0) den tomma partitionen)

K _{(1) (1)} = 1

K _{(2) (2)} = K _{(2) (1,1)} = K _{(1, 1) (1,1)} = 1, K _{(1,1) (2)} = 0.

K _{(3) (3)} = K _{(3) (2,1)} = K _{(3) (1,1,1 )} = 1

K _{(2,1) (3)} = 0, K _{(2,1) (2,1)} = 1, K _{(2,1) (1,1,1)} = 2

K _{(1,1, 1) (3)} = K _{(1,1,1) (2,1)} = 0, K _{(1,1,1) (1,1,1)} = 1

Dessa värden är exakt koefficienterna i expansionen av Schur-funktioner i termer av monomiala symmetriska funktioner:

s = m = 1 (indexeras av den tomma partitionen)

s ₁ = m ₁

s ₂ = m ₂ + m ₁₁

s ₁₁ = m ₁₁

s ₃ = m ₃ + m ₂₁ + m ₁₁₁

s ₂₁ = m ₂₁ + 2 m ₁₁₁

s ₁₁₁ = m _111.

Kostka (1882 , sidorna 118-120) gav tabeller över dessa nummer för partitioner av nummer upp till 8.

Generaliseringar

Kostka-tal är speciella värden för de 1 eller 2 variabla Kostka-polynomen :

$K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).$

Anteckningar

• Stanley, Richard (1999), Enumerativ kombinatorik, volym 2 , Cambridge University Press
• Kostka, C. (1882), "Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen" , Crelle's Journal , 93 : 89–123
•    Macdonald, IG (1995), Symmetric functions and Hall polynomials , Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 , MR 1354144 , arkiverad från originalet den 2012- 12-11
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Schur-funktioner i algebraisk kombinatorik", Encyclopedia of Mathematics , EMS Press