Kostka polynom

Inom matematiken är Kostka-polynom , uppkallade efter matematikern Carl Kostka , familjer av polynom som generaliserar Kostka-talen . De studeras främst i algebraisk kombinatorik och representationsteori .

De tvåvariabla Kostka-polynomen K _λμ ( q , t ) är kända under flera namn, inklusive Kostka–Foulkes-polynom , Macdonald–Kostka-polynom eller q , t -Kostka- polynom . Här är indexen λ och μ heltalspartitioner och K _λμ ( q , t ) är polynom i variablerna q och t . Ibland överväger man envariabelversioner av dessa polynom som uppstår genom att sätta q = 0, dvs genom att betrakta polynomet K _λμ ( t ) = K _λμ (0, t ).

Det finns två lite olika versioner av dem, en som kallas transformerade Kostka-polynom . ^{[ citat behövs ]}

Kostka-polynomens specialiseringar med en variabel kan användas för att relatera Hall-Littlewood-polynomen P _μ till Schur-polynomen s _λ :

s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x_{1} ,\ldots ,x_{n};t).\

Dessa polynom antogs ha icke-negativa heltalskoefficienter av Foulkes, och detta bevisades senare 1978 av Alain Lascoux och Marcel-Paul Schützenberger . Det visar de faktiskt

K_{\lambda \mu }(t)=\summa _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{avgift(T)}

där summan tas över alla halvstandardiserade Unga tablåer med form λ och vikt μ. Här charge en viss kombinatorisk statistik på semi-standardiserade Young-tablåer.

Macdonald–Kostka-polynomen kan användas för att relatera Macdonald-polynom (även betecknade med P _μ ) till Schur-polynom s _λ :

s_{\lambda }(x_{1} ,\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(q,t)J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q, t)\

var

J_{\mu }(x_{1},\ldots,x_{n};q,t)=P_{\mu}(x_{1},\ldots,x_{n};q,t) \prod _{s\in \mu }(1-q^{arm(ar)}t^{ben(ar)+1}).\

Kostka-tal är speciella värden för Kostka-polynomen med en eller två variabler:

K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).\

Exempel

Macdonald, IG (1995), Symmetric functions and Hall polynomials , Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 , MR 1354144 ^{[ permanent död länk ]}
Nelsen, Kendra; Ram, Arun (2003), "Kostka-Foulkes polynom och Macdonald sfäriska funktioner", Surveys in combinatorics, 2003 (Bangor) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 307, Cambridge: Cambridge Univ. Press, s. 325–370, arXiv : math/0401298 , Bibcode : 2004math......1298N , MR 2011741
Stembridge, JR (2005), Kostka-Foulkes polynom av allmän typ , föreläsningsanteckningar från AIM workshop om generaliserade Kostka polynom

externa länkar