Korrekt generaliserad nedbrytning

Den korrekta generaliserade nedbrytningen ( PGD ) är en iterativ numerisk metod för att lösa gränsvärdesproblem (BVP), det vill säga partiella differentialekvationer som begränsas av en uppsättning randvillkor, såsom Poissons ekvation eller Laplaces ekvation .

PGD-algoritmen beräknar en approximation av lösningen av BVP genom successiv anrikning. Detta innebär att i varje iteration beräknas en ny komponent (eller mod ) och läggs till approximationen. I princip gäller att ju fler moder som erhålls, desto närmare är approximationen dess teoretiska lösning. Till skillnad från POD- huvudkomponenter är PGD-lägen inte nödvändigtvis ortogonala mot varandra.

Genom att endast välja de mest relevanta PGD-lägena erhålls en reducerad ordningsmodell av lösningen. På grund av detta anses PGD vara en dimensionsreduktionsalgoritm .

Beskrivning

Den korrekta generaliserade nedbrytningen är en metod som kännetecknas av

1. en variationsformulering av problemet,
2. en diskretisering av domänen i stil med finita elementmetoden ,
3. antagandet att lösningen kan approximeras som en separat representation och
4. en numerisk girig algoritm för att hitta lösningen.

Variationsformulering

Den mest implementerade variationsformuleringen i PGD är Bubnov-Galerkin-metoden , även om andra implementeringar finns.

Domändiskretisering

Diskretiseringen av domänen är en väldefinierad uppsättning procedurer som täcker (a) skapandet av finita elementmaskor, (b) definitionen av basfunktion på referenselement (även kallade formfunktioner) och (c) kartläggning av referenselement på elementen i nätet.

Separat representation

PGD ​​antar att lösningen u av ett (flerdimensionellt) problem kan approximeras som en separat representation av formen

$$\ mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})=\summa _{i=1}^{N}\mathbf { X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}( x_{d}),$$

där antalet tillägg N och de funktionella produkterna X ₁ ( x ₁ ), X ₂ ( x ₂ ), ..., X _d ( x _d ), var och en beroende på en variabel (eller variabler), är okända i förväg.

Girig algoritm

Lösningen söks genom att tillämpa en girig algoritm , vanligtvis fixpunktsalgoritmen , på den svaga formuleringen av problemet. För varje iteration i av algoritmen beräknas ett läge för lösningen. Varje läge består av en uppsättning numeriska värden för de funktionella produkterna X ₁ ( x ₁ ), ..., X _d ( x _d ), som berikar approximationen av lösningen. På grund av algoritmens giriga karaktär används termen "berika" snarare än "förbättra", eftersom vissa lägen faktiskt kan försämra tillvägagångssättet. Antalet beräknade moder som krävs för att erhålla en approximation av lösningen under en viss feltröskel beror på stoppkriteriet för den iterativa algoritmen.

Funktioner

PGD ​​är lämplig för att lösa högdimensionella problem, eftersom det övervinner begränsningarna hos klassiska tillvägagångssätt. I synnerhet undviker PGD dimensionalitetens förbannelse , eftersom att lösa frikopplade problem är beräkningsmässigt mycket billigare än att lösa flerdimensionella problem.

Därför gör PGD det möjligt att återanpassa parametriska problem till ett flerdimensionellt ramverk genom att ställa in parametrarna för problemet som extra koordinater:

$$\mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},\ldots ,x_{d};k_{1},\ldots, k_{p})=\summa _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i} (x_{d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),$$

där en serie funktionella produkter K ₁ ( k ₁ ), K ₂ ( k ₂ ), ..., K _p ( k _p ), var och en beroende på en parameter (eller parametrar), har inkorporerats i ekvationen.

beräkningsvademecum fallet kallas den erhållna approximationen av lösningen : en allmän metamodell som innehåller alla specifika lösningar för alla möjliga värden av de inblandade parametrarna.

Sparse Subspace Learning

Sparse Subspace Learning -metoden (SSL) utnyttjar användningen av hierarkisk samlokalisering för att approximera den numeriska lösningen av parametriska modeller. Med avseende på traditionell projektionsbaserad reducerad ordningsmodellering möjliggör användningen av en samlokalisering ett icke-påträngande tillvägagångssätt baserat på sparsam adaptiv sampling av det parametriska rummet. Detta gör det möjligt att återställa den lågdimensionella strukturen för det parametriska lösningsunderrummet samtidigt som man lär sig det funktionella beroendet från parametrarna i explicit form. En gles ungefärlig tensorrepresentation av den parametriska lösningen kan byggas upp genom en inkrementell strategi som bara behöver ha tillgång till utdata från en deterministisk lösare. Icke-intrusivitet gör detta tillvägagångssätt direkt tillämpbart på utmanande problem som kännetecknas av olinjäritet eller icke affina svaga former.