Kopplingsprincip

Kopplingsprincipen är ett resultat av auktionsteorin . Den anger att auktionshusen har ett incitament att förbinda sig att avslöja all tillgänglig information om varje lott, positiv eller negativ. Kopplingsprincipen ses på konstmarknaden med traditionen att auktionsförrättare anlitar konstexperter för att undersöka varje parti och förbinda sig att ge en sanningsenlig uppskattning av dess värde.

Upptäckten av kopplingsprincipen var mest användbar för att fastställa optimal strategi för länder som håller på att auktionera ut borrrättigheter (liksom andra naturresurser , såsom avverkningsrättigheter i Kanada). En oberoende bedömning av marken i fråga är nu ett standardinslag i de flesta auktioner , även om säljarlandet kan tro att bedömningen sannolikt kommer att sänka markens värde snarare än att bekräfta eller höja en redan existerande värdering.

Underlåtenhet att avslöja information leder till att den vinnande budgivaren själv ådrar sig upptäcktskostnaderna och sänker sitt högsta bud på grund av kostnaderna för att skaffa information. Om han inte kan få en oberoende bedömning, kommer hans bud att ta hänsyn till möjligheten för nedåtrisk. Båda scenarierna kan visa sig sänka säljarens förväntade intäkter. Det förväntade försäljningspriset höjs genom att sänka dessa upptäcktskostnader för den vinnande budgivaren, och istället tillhandahålla information till alla budgivare gratis.

Använd i FCC-auktion

På tal om FCC- spektrumauktioner sa Evan Kwerel, "Till slut valde FCC en mekanism för stigande bud, till stor del för att vi trodde att ge budgivare mer information sannolikt skulle öka effektiviteten och, som visades av Paul Milgrom och Robert J. Weber , mildra vinnarens förbannelse (Kwerel, 2004, s.xvii)

Resultatet som Kwerel anspelar på är känt som länkningsprincipen och utvecklades av Milgrom och Weber (1982). Milgrom (2004) omarbetar kopplingsprincipen som "publicitetseffekten". Det gav en teoretisk grund för den intuition som driver FCC:s stora designval mellan ett stigande bud och auktion med förseglad bud .

Formell härledning

Enligt Perry och Reny:

Kopplingsprincipen har kommit att betraktas som en av de grundläggande lärdomarna från auktionsteorin. Betydelsen och den allmänna acceptansen av kopplingsprincipen som en vägledning för auktionsdesign, även i sammanhang bortom auktioner med en enda enhet, framhävs av den senaste utformningen av spektrumauktionen som hålls av FCC, som innehåller en öppen auktionskomponent. Även om experterna var överens om att samverkan mellan budgivarna (vilket i slutändan inträffade; The Economist, 17 maj 1997, s. 86) är lättare att upprätthålla inom en öppen auktion, uppvägde i slutändan tron på kopplingsprincipen denna oro och ett öppet auktionsformat användes. Enligt McMillan (1994) bedömde experterna faktiskt att [den negativa samverkanseffekten] uppvägdes av budgivarnas förmåga att lära av andras bud i den öppna auktionen.

Kopplingsprincipen innebär att öppna auktioner generellt leder till högre förväntade priser än auktioner med slutna bud . Som sagt av Milgrom och Weber (1982, s. 1095),

"En förklaring till denna ojämlikhet är att när budgivare är osäkra på sina värderingar kan de få användbar information genom att granska sina konkurrenters budbeteende under en auktion med [stigande bud]. Den extra informationen försvagar vinnarens förbannelse och leder. till mer aggressiv budgivning i [stigande bud]-auktionen, vilket står för det högre förväntade priset."

Kopplingsprincipen innebär också att auktionsförrättaren maximerar det förväntade priset genom att alltid helt avslöja all information den har om föremålet som säljs helt. Med Milgrom och Webers ord (1982, s. 1096), "Ärlighet är den bästa policyn."

För att ge ett uttalande om kopplingsprincipen följer vi presentationen av Krishna, som noterar att kopplingsprincipen "först lades fram och användes av Milgrom och Weber (1982)." (Krishna, 2002, s. 111) Vi börjar med att definiera de nödvändiga begreppen och notation som krävs för att ange kopplingsprincipen. Definiera ett standardauktionsformat som ett där högbjudaren vinner. Antag att varje budgivare, $i \in {1, ..., N},$ får en signal $X i$ avseende objektets värde. Vi antar att värderingen till varje budgivare beror på dess egen observerade signal och symmetriskt på de oobserverade signalerna från de andra budgivarna (så att de andra budgivarnas signaler kan utbytas utan att påverka en given budgivares värde). Mer specifikt, anta att alla signaler $X i$ dras från intervallet $[0, ω]$ och att vi för alla $i$ kan skriva värdet av budgivare $i$ som ${\ displaystyle v_{i}(\mathbf {X} )=u(X_{i},\mathbf {X} _{-i}),} där funktionen u är symmetrisk$ i $de$ sista N − $1 komponenterna$ .

Vi definierar nu andra slumpvariabler och mappningar med avseende på budgivare 1, men på grund av den antagna symmetrin är de lika för alla budgivare. Definiera slumpvariabler $Y_{1},\cdots ,Y_{N-1}$ till att vara den största, näst största, etc., bland $X_{2},\cdots ,X_{N}$ . Låt $G(\cdot \mid x)$ beteckna fördelningen av $Y_{1}$ villkorad av $X_{1}=x$ , dvs $G(z\mid x)\equiv \Pr \left(Y_{1}<z\mid X_{1} =x\right)$ , och låt $g(\cdot \mid x)$ vara den associerade densiteten . Vi låter

v(x,y)=E\left[V_{1}\mid X_{1}=x,Y_ {1}=y\right]

vara förväntan på värdet till en budgivare när signalen han får är $x$ och den högsta signalen bland de andra budgivarna, $Y 1$ är $y$ . Vi antar att $v$ är icke-minskande i $y$ och strikt ökande i $x$ och att $v (0, 0) = 0$ .

för varje standardauktionsformat $A$ att auktionen har en symmetrisk och ökande jämvikt $β A$ , som är en avbildning från en budgivares observerade signal till dess bud. Låt $W^{A}(z,x)$ beteckna den förväntade betalningen från en budgivare om han är den vinnande budgivaren när han får en signal $x$ men bjuder som om deras signal var $z$ , dvs han bjuder $β A (z)$ . Låt $}(x,z)}$ $W_{2}^{A}(x,z)$ beteckna derivatan av $W A$ med avseende på dess första argument och derivatan med avseende på dess andra argument, utvärderad vid $(x, z)$ .

För specifika exempel, i en auktion med ett förseglat bud med första pris, märkt $I$ , där den högstbjudande vinner och betalar beloppet för sitt bud, har vi $W ^{I}(z,x)=\beta ^{I}(z),$ och i en andraprisauktion, märkt $II$ , där den högstbjudande vinner och betalar beloppet för det näst högsta budet, har vi

W^{II}(z,x)=E\left[\beta ^{II}(Y_{1})\mid X_{1}=x,Y_{1}<z\right].

Nu kan vi säga:

Kopplingsprincip. (Krishna, 2002, Proposition 7.1) Låt

A

och

B

vara två standardauktioner, som var och en har en symmetrisk och ökande jämvikt så att

(i) för alla

x

,

{\displaystyle W_{2}^{A}(x,x)\geq W_{2}^{B}(x,x);} (ii)

W

A (0,0) = 0 = W B (0 ,0).

Då är den förväntade intäkten i

A

minst lika stor som den förväntade intäkten i

B

.

Bevis: Den förväntade utdelningen för en budgivare med signal $x$ som bjuder $β A (z)$ är

\int _{-\infty }^{z}v(x ,y)g(y\mid x)dy-G(z\mid x)W^{A}(z,x)

.

I jämvikt är det optimalt att välja $z = x$ och de resulterande första ordningens villkoren innebär att

v(x, x)g(x\mid x)-g(x\mid x)W^{A}(x,x)+G(x\mid x)W_{1}^{A}(x,x)=0 ,

som vi kan skriva om som

W_{1}^{A}(x,x)={\frac {g(x\mid x)}{G(x\mid x)}}v(x,x)-{\frac { g(x\mid x)}{G(x\mid x)}}W^{A}(x,x).

Uthyrning

\Delta (x)=W^{A}(x,x)-W^{B}(x,x ),

vi drar slutsatsen att

\Delta ^{ \prime }(x)=-{\frac {g(x\mid x)}{G(x\mid x)}}\Delta (x)+\left(W_{2}^{A}(x, x)-W_{2}^{B}(x,x)\höger)

.

Med hypotes (i) är den andra termen positiv, och av hypotes (ii), som antyder $Δ(0) = 0$ , följer att $Δ(x)$ och $Δ'(x)$ inte kan ha olika tecken, vilket innebär att för alla $x$ , $Δ(x) \geq 0$ . QED

För att använda detta förslag för att rangordna till exempel andrapris- och förstaprisauktionerna måste vi anta att budgivarens signaler är anslutna (se Milgrom och Weber, 1982, Appendix on Affiliation, s. 1118–1121), vilket innebär att $G(z\mid \cdot )$ minskar och att $W_{2}^{II}(x,x) \geq 0$ . Observera att $W_{2}^{I}(x,x)=0$ . Sålunda, under antagandet om tillhörighet, $W_{2}^{II}(x,x)\geq W_{2}^{ I}(x,x)$ . Dessutom är $W II (0,0) = 0 = W I (0,0),$ så kopplingsprincipen innebär att förväntade intäkter från en andraprisauktion är minst lika stora som från en förstaprissauktion.

För att använda detta förslag för att visa att förväntade intäkter är större när offentlig information görs tillgänglig, överväg förstaprisauktionen. Låt $S$ vara en slumpvariabel som anger den information som är tillgänglig för säljaren och anta att en symmetrisk jämviktsstrategi ${\widehat {\beta }}(S,X_{1})$ som ökar i båda variablerna. Låt sedan

{\widehat {W}}^{I}(z,x)=E\left[{\widehat {\beta }}(S,z){\big |}X_{1 }=x\höger]

vara den förväntade betalningen av en vinnande budgivare när han får signal $x$ men bjuder som om det vore z . Förutsatt att $S$ och $X 1$ är anslutna, så att

{\widehat {W}}_{2}^{I}(z,x)\geq 0,

sedan

{\widehat {W}}_{2}^{I}(x,x)\geq W_{2}^{I }(x,x)

och kopplingsprincipen innebär att förväntade intäkter är minst lika stora när information avslöjas som när den inte är det.

För att se att en auktion med stigande bud har större förväntade intäkter än en andraprisauktion, notera att i en auktion med stigande bud ger de observerade punkter där andra budgivare upphör att vara aktiva ytterligare signaler som också är anslutna till $X 1$ och så logiken för informationsavslöjande ökar förväntade intäkter gäller.

Även om det har visat sig att kopplingsprincipen inte behöver hålla i mer komplexa auktionsmiljöer (se Perry och Reny (1999) om misslyckandet med kopplingsprincipen i flerenhetsauktioner), som hävdats av Loertscher, Marx och Wilkening (2013) ), den intuition som kopplingsprincipen ger för de potentiella fördelarna med öppna framför slutna auktionsformat, och fördelarna med informationsavslöjande i allmänhet, kommer sannolikt att fortsätta att påverka den praktiska auktionsdesignen långt in i framtiden.