Konform svetsning

I matematik är konformsvetsning ( sömnad eller limning ) en process inom geometrisk funktionsteori för att producera en Riemann-yta genom att sammanfoga två Riemann-ytor, var och en med en skiva borttagen, längs deras gränscirklar . Detta problem kan reduceras till att hitta univalenta holomorfa kartor f , g av enhetsskivan och dess komplement till det utökade komplexa planet, som båda tillåter kontinuerliga förlängningar av stängningen av deras domäner, så att bilderna är komplementära Jordan-domäner och sådana att på enhetscirkeln skiljer de sig åt genom en given kvasisymmetrisk homeomorfism . Flera bevis är kända genom att använda en mängd olika tekniker, inklusive Beltrami-ekvationen , Hilbert- transformen på cirkeln och elementära approximationstekniker. Sharon & Mumford (2006) beskriver de två första metoderna för konform svetsning samt tillhandahåller numeriska beräkningar och tillämpningar för analys av former i planet.

Svetsning med Beltramis ekvation

Denna metod föreslogs först av Pfluger (1960) .

Om f är en diffeomorfism av cirkeln, ger Alexander-förlängningen ett sätt att utöka f till en diffeomorfism av enhetsskivan D :

$\displaystyle {F(r,\theta )=r\exp [i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}$

där ψ är en jämn funktion med värden i [0,1], lika med 0 nära 0 och 1 nära 1, och

$\displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}$

med g (θ + 2π) = g (θ) + 2π.

Tillägget F kan fortsätta till vilken större disk som helst | z | < R med R > 1. Följaktligen i enhetsskivan

$\displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}$

Förläng nu μ till en Beltrami-koefficient på hela C genom att sätta den lika med 0 för | z | ≥ 1. Låt G vara motsvarande lösning av Beltramis ekvation:

$\displaystyle {G_{\overline {z}}=\mu G_{z}.}$

Låt F ₁ ( z ) = G ∘ F ⁻¹ ( z ) för | z | ≤ 1 och F2 ( _z ) = G ( z ) för | z | ≥ 1. Således F ₁ och F ₂ univalenta holomorfa kartor över | z | < 1 och | z | > 1 på insidan och utsidan av en Jordan-kurva. De sträcker sig kontinuerligt till homeomorfismer fi _av enhetscirkeln till Jordan-kurvan på gränsen. Genom konstruktion uppfyller de det konforma svetsvillkoret :

$\displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}$

Svetsning med Hilbert-transformen på cirkeln

Användningen av Hilbert-transformen för att etablera konform svetsning föreslogs först av de georgiska matematikerna DG Mandzhavidze och BV Khvedelidze 1958. En detaljerad redogörelse gavs samtidigt av FD Gakhov och presenterades i hans klassiska monografi (Gakhov (1990) ) .

Låt e _n (θ) = e ^{i θ} vara standardortonormalbasen för L ² ( T ). Låt H ² ( T ) vara Hardy space , det slutna delrummet spänns av e _n med n ≥ 0. Låt P vara den ortogonala projektionen på Hardy space och sätt T = 2 P - I . Operatorn H = iT är Hilbert-transformen på cirkeln och kan skrivas som en singularis integraloperator .

Givet en diffeomorfism f av enhetscirkeln är uppgiften att bestämma två univalenta holomorfa funktioner

$\displaystyle {f_{- }(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots ,\,\,\,\,\,f_{+}(z)=z+b_ {1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots ,}$

definieras i |z| < 1 och |z| > 1 och båda sträcker sig smidigt till enhetscirkeln, mappar till en Jordan-domän och dess komplement, så att

$\displaystyle {f_{-}(e^{i\theta })=f_{+}(f(e^{i\theta})).}$

Låt F vara begränsningen av f ₊ till enhetscirkeln. Sedan

$\displaystyle {TF=-F+2e^{i\theta }}$

och

$\displaystyle {TF\circ f=F\circ f.}$

Därav

$\displaystyle {T(F\circ f)\circ f^{-1}-T(F)=2F-2e^{i\theta }.}$

Om V ( f ) betecknar den avgränsade inverterbara operatorn på L ² inducerad av diffeomorfismen f , då operatorn

$\displaystyle {K_{f}=V(f)PV(f)^{-1}-P}$

är kompakt, det ges faktiskt av en operator med mjuk kärna eftersom P och T ges av singulära integraloperatorer. Ekvationen ovan reduceras då till

$\displaystyle {(I-K_{f})F=e^{i\theta }.}$

Operatören I − K _f är en Fredholmsoperator med index noll. Den har noll kärna och är därför inverterbar. Faktum är att ett element i kärnan skulle bestå av ett par holomorfa funktioner på D och D ^c som har jämna gränsvärden på cirkeln som är relaterad till f . Eftersom den holomorfa funktionen på D ^c försvinner vid ∞, ger de positiva potenserna för detta par också lösningar, som är linjärt oberoende, vilket motsäger det faktum att I − K _f är en Fredholm-operator. Ovanstående ekvation har därför en unik lösning F som är jämn och från vilken f _± kan rekonstrueras genom att vända stegen ovan. I själva verket, genom att titta på ekvationen som uppfylls av logaritmen för derivatan av F , följer det att F inte har någon försvinnande derivata på enhetscirkeln. Dessutom F en-till-en på cirkeln, eftersom om den antar värdet a vid olika punkter z ₁ och z ₂ så är logaritmen för R ( z ) = ( F ( z ) − a )/( z - z ₁ ) ( z − z ₂ ) skulle uppfylla en integralekvation som är känd för att inte ha några lösningar som inte är noll. Givet dessa egenskaper på enhetscirkeln följer de erforderliga egenskaperna för f _± sedan av argumentprincipen .

Anteckningar

• Pfluger, A. (1960), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc. , 24 : 401-412
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Quasiconformal mappings in the plane , Springer-Verlag, sid. 92
•   Lehto, O. (1987), Univalent functions and Teichmüller spaces , Springer-Verlag, s. 100–101, ISBN 0-387-96310-3
• Sharon, E.; Mumford, D. (2006), "2-D analysis using conformal mapping" (PDF) , International Journal of Computer Vision , 70 : 55–75, doi : 10.1007/s11263-006-6121-z , arkiverad från originalet ( PDF) den 2012-08-03 , hämtad 2012-07-01
•   Gakhov, FD (1990), Gränsvärdesproblem. Omtryck av 1966 års översättning , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
•   Titchmarsh, EC (1939), The Theory of Functions (2:a upplagan), Oxford University Press, ISBN 0198533497