Inom sannolikhetsteori och statistik är komplexa slumpvariabler en generalisering av reella slumpvariabler till komplexa tal , dvs de möjliga värden som en komplex slumpvariabel kan ta är komplexa tal . Komplexa slumpvariabler kan alltid betraktas som par av reella slumpvariabler: deras reella och imaginära delar. Därför fördelningen av en komplex slumpvariabel tolkas som den gemensamma fördelningen av två reella slumpvariabler.
Vissa begrepp för reella slumpvariabler har en enkel generalisering till komplexa slumpvariabler – t.ex. definitionen av medelvärdet för en komplex slumpvariabel. Andra begrepp är unika för komplexa slumpvariabler.
Betrakta en slumpvariabel som endast kan ta de tre komplexa värdena med sannolikheter enligt tabellen. Detta är ett enkelt exempel på en komplex slumpvariabel.
Sannolikhet
Värde
Förväntningen på denna slumpvariabel kan enkelt beräknas
Jämn fördelning
Ett annat exempel på en komplex slumpvariabel är den enhetliga fördelningen över den fyllda enhetscirkeln, dvs mängden . Denna slumpvariabel är ett exempel på en komplex slumpvariabel för vilken sannolikhetstäthetsfunktionen är definierad. Densitetsfunktionen visas som den gula skivan och den mörkblå basen i följande figur.
Komplexa Gaussiska slumpvariabler påträffas ofta i applikationer. De är en enkel generalisering av verkliga Gaussiska slumpvariabler. Följande plot visar ett exempel på fördelningen av en sådan variabel.
Kumulativ fördelningsfunktion
Generaliseringen av den kumulativa fördelningsfunktionen från reella till komplexa slumpvariabler är inte uppenbar eftersom uttryck av formen meningslösa. Men uttryck av formen Vettigt. Därför definierar vi den kumulativa fördelningen av en komplex slumpvariabel via den gemensamma fördelningen av deras reella och imaginära delar:
()
Sannolikhetstäthetsfunktion
Sannolikhetstäthetsfunktionen för en komplex slumpvariabel definieras som punkt definieras till att vara lika med värdet av ledtätheten för de reella och imaginära delarna av den slumpmässiga variabeln utvärderad vid punkten ( .
En ekvivalent definition ges av = och .
Som i det verkliga fallet kanske densitetsfunktionen inte existerar.
Förväntan
Förväntningen på en komplex slumpvariabel definieras utifrån definitionen av förväntan på en verklig slumpvariabel:
()
Observera att förväntan på en komplex slumpvariabel inte existerar om eller finns inte.
Om den komplexa slumpvariabeln har en sannolikhetstäthetsfunktion , då ges förväntningen av .
Variansen är alltid ett icke-negativt reellt tal. Det är lika med summan av varianserna för den reella och imaginära delen av den komplexa slumpvariabeln:
Variansen för en linjär kombination av komplexa slumpvariabler kan beräknas med följande formel:
Ortogonalitet: två komplexa slumpvariabler och kallas ortogonala om .
Cirkulär symmetri
Cirkulär symmetri av komplexa slumpvariabler är ett vanligt antagande som används inom området trådlös kommunikation. Ett typiskt exempel på en cirkulär symmetrisk komplex slumpvariabel är den komplexa gaussiska slumpvariabeln med noll medelvärde och noll pseudo-kovariansmatris.
En komplex slumpvariabel är cirkulärsymmetrisk om, för någon deterministisk , fördelningen av är lika med fördelningen av .
Egenskaper
Per definition har en cirkulärt symmetrisk komplex slumpvariabel
för alla .
Således kan förväntan på en cirkulärt symmetrisk komplex slumpvariabel endast vara antingen noll eller odefinierad.
Dessutom,
för alla .
Således kan pseudovariansen för en cirkulärt symmetrisk komplex slumpvariabel endast vara noll.
Om och har samma fördelning, måste fasen för vara likformigt fördelad över och oberoende av amplituden för .
Korrekt komplexa slumpvariabler
Konceptet med korrekta slumpvariabler är unikt för komplexa slumpvariabler och har inget motsvarande begrepp med verkliga slumpvariabler.
En komplex slumpvariabel kallas korrekt om följande tre villkor alla är uppfyllda:
Denna definition motsvarar följande villkor. Detta betyder att en komplex slumpvariabel är korrekt om, och endast om:
Sats — Varje cirkulärt symmetrisk komplex slumpvariabel med finit varians är korrekt.
För en riktig komplex slumpvariabel har kovariansmatrisen för paret följande enkla form :
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]={\frac {1}{4}}(1+i)+{\frac {1}{4}}(1-i)+{\frac {1}{2}}2={\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c524ba54cdf76d00057ff202c9ef13d276797808)
![{\displaystyle F_{Z}:\mathbb {C} \to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49f4f55d06b18465dbc269884ebf7747b9156f3)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [\Re {(Z)}]+i\operatorname {E} [\Im {(Z)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e1ff26c4d56190d3bcbbc0f5aaede2132ea4de)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e844e16f165052318326c84418f6f397eef22c61)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\Im {(Z)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db17b20ce3199ef25f805f27c8473a08d3753378)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\iint _{\mathbb {C} }z\cdot f_{Z}(z)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce36d7e5aca36e4baed05d1ce7eb8be351a3da68)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\sum _{z\in \mathbb {Z} }z\cdot p_{Z}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd6feced28ac4cb07956d41e9b0476422f8b168)
![{\displaystyle {\overline {\operatorname {E} [Z]}}=\operatorname {E} [{\overline {Z}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f389d24b8d094d5cbcfe0587f73462936d18ff)
![\operatorname {E}[\cdot ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a71518eb57ffaf54c0c31bf94de5ac9d7ab11a1)
![{\displaystyle \operatorname {E} [aZ+bW]=a\operatorname {E} [Z]+b\operatorname {E} [W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e642bbe3e97314e03a0804a0bcfeaaf4a49c7bc)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [Z]=\operatorname {E} \left[\left|Z-\operatorname {E} [Z]\right|^{2}\right]=\operatorname {E} [|Z|^{2}]-\left|\operatorname {E} [Z]\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d080a97d05f3891fad48566952956c8bc33616)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add16b3176754caaa4cf67a75a16b4ac92b34c76)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left[\sum _{k=1}^{N}a_{k}Z_{k}\right]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}{\overline {a_{j}}}\operatorname {Cov} [Z_{i},Z_{j}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99e419701670b4886082740417b566f5c3f3123)
![{\displaystyle \operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])^{2}]=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff6bdd87afbafd84fa355854e5d4d7884b7cb5f)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]&\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]\\\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac330d152bea21f53db8f3ff194d894157b6fc3c)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2fd64c83c920bd9f44dfcb5281682245f7d103)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}+\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}-\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{ZZ})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660a39d44691cd1f64d313944c0046eeaa5fe2cc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\\&\operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]-\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]+i2\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82090510b637bbd7629cffdef53b712e564ec908)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,W]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}]=\operatorname {E} [Z{\overline {W}}]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [{\overline {W}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a961696e5eb2780adc679459b7cf2c5000dd1e)
![{\displaystyle \operatorname {J} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,{\overline {W}}]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])(W-\operatorname {E} [W])]=\operatorname {E} [ZW]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0850e20d08a280f61bd0e8db2c108656c09f163)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W]={\overline {\operatorname {Cov} [W,Z]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c45f52a23a45d8c0489113054f2899fc7abe05)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [\alpha Z,W]=\alpha \operatorname {Cov} [Z,W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d563b3f4a69e63da7c74774262faa56e9d8dbb)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,\alpha W]={\overline {\alpha }}\operatorname {Cov} [Z,W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdae2df03771a6783a07fce94daafe717183d542)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [Z_{1}+Z_{2},W]=\operatorname {Cov} [Z_{1},W]+\operatorname {Cov} [Z_{2},W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58046998dba3171529973d2cea6df46bd55cd24b)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W_{1}+W_{2}]=\operatorname {Cov} [Z,W_{1}]+\operatorname {Cov} [Z,W_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ba4eef59808fe6d651f74824fa7354b63de613)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,Z]={\operatorname {Var} [Z]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0dd5a038210af5d291b2baf8d6f5f4017130ba)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9158c9d3364ee6a00a491d275b5aaa59fb06b08)
![{\displaystyle \phi \in [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd67c7af835707a32f70e8ceb8388953705d2ab3)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {i} \phi }\operatorname {E} [Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0c0eaaf719d6a7f539ee634a8ada78a25fb814)
![{\displaystyle \operatorname {E} [ZZ]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Ze^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {2} i\phi }\operatorname {E} [ZZ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d399819a5ae5dbfd8d504a1771a23da9424712fe)
![[-\pi ,\pi ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c80bd7c75894b696a91f03059d601eed06827f)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Z]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9598b3723f10a6af6b01d1a9e70dac49eaa054e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0142e4405a348fd70966a8f62d4c260f5b30498)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}^{2}]=\operatorname {E} [\Im {(Z)}^{2}]\neq \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24c7509a56aab23c94a541282cc12c0f2793e70)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}\Im {(Z)}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f594a6d61e9568109957798cff69ca1239516b)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]&0\\0&{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409bedd03d9fcbd63fb8d7338d6dc4ad4fe69e86)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]=\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc188b8b1273b1a3c41d381002ba1095ce961ec)
![{\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]\right|^{2}\leq \left|\operatorname {E} \left[\left|Z{\overline {W}}\right|\right]\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|Z|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|W|^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22338d330f3e5c32c1fb25b14de2d80569cac86)
![{\displaystyle \varphi _{Z}(\omega )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {({\overline {\omega }}Z)}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega )}\Re {(Z)}+\Im {(\omega )}\Im {(Z)})}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cf0381ac2f47d34cdf5a23923e0699a8b6515d)