Kompakt stencil

En kompakt 2D-stencil som använder alla 8 intilliggande noder, plus mittnoden (i rött).

Inom matematiken , särskilt inom de områden av numerisk analys som kallas numeriska partiella differentialekvationer , är en kompakt stencil en typ av stencil som endast använder nio noder för sin diskretiseringsmetod i två dimensioner. Den använder endast mittnoden och de intilliggande noderna. För alla strukturerade rutnät som använder en kompakt stencil i 1, 2 eller 3 dimensioner är det maximala antalet noder 3, 9 respektive 27. Kompakta stenciler kan jämföras med icke-kompakta stenciler . Kompakta schabloner är för närvarande implementerade i många partiella differentialekvationslösare , inklusive flera i ämnena CFD, FEA och andra matematiska lösare relaterade till PDE.

Tvåpunktsschablonexempel

Tvåpunktsschablonen för den första derivatan av en funktion ges av:

$f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0 }+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ .

Detta erhålls från Taylor-seriens expansion av den första derivatan av funktionen som ges av:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0}) }{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{ 3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ .

Genom att ersätta $h$ med $-h$ , har vi:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0} )}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})} {3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ .

Tillägg av ovanstående två ekvationer tillsammans resulterar i att termerna i udda potenser av ${\displaystyle h} släcks$ :

${\begin{array}{l}2f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0}) }{h}}-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(3)}( x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}$ .

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0 }-h\right)}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}$ .

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\ frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)\end{ array}}$ .

Trepunktsschablonexempel

ges trepunktsschablonen för den andra derivatan av en funktion av:

${\begin{array}{l}f^{ (2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0}) }{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}$ .

Detta erhålls från Taylor-seriens expansion av den första derivatan av funktionen som ges av:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0}) }{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{ 3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ .

Genom att ersätta $h$ med $-h$ , har vi:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0} )}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})} {3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ .

Subtraktion av ovanstående två ekvationer resulterar i att termerna i jämna potenser av $h$ : ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{ \frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{ 2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ .

${\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\ vänster(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4 !}}h^{2}+\cdots \end{array}}$ .

${\begin{array}{l}f^{ (2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0}) }{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}$ .

Se även