Fempunkts stencil

En illustration av fempunktsschablonen i en och två dimensioner (överst respektive botten).

I numerisk analys , givet ett kvadratiskt rutnät i en eller två dimensioner, är fempunktsschablonen för en punkt i rutnätet en stencil som består av själva spetsen tillsammans med dess fyra "grannar". Den används för att skriva ändliga skillnadsapproximationer till derivator vid rutnätspunkter. Det är ett exempel på numerisk differentiering .

I en dimension

I en dimension, om avståndet mellan punkter i rutnätet är h , är fempunktsschablonen för en punkt x i rutnätet

$$\{x-2h,xh,x,x+h,x+2h\}.$$

1D första derivata

Den första derivatan av en funktion f av en reell variabel i en punkt x kan approximeras med hjälp av en fempunktsstencil som:

$$f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(xh)+f(x-2h)}{12h}}$$

Lägg märke till att själva mittpunkten f ( x ) inte är inblandad, bara de fyra närliggande punkterna.

Härledning

Denna formel kan erhållas genom att skriva ut de fyra Taylor-serierna av f ( x ± h ) och f ( x ± 2 h ) upp till termer av h ³ (eller upp till termer av h ⁵ för att få en feluppskattning också) och lösa detta system med fyra ekvationer för att få f ′( x ). I själva verket har vi i punkterna x + h och x − h :

$$f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h ^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).$$

Att utvärdera $(E_{1+})-(E_{1-})$ ger oss

$$f(x+h)-f(xh)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1} (h^{4}).\qquad (E_{1}).$$

Observera att resttermen O ₁ ( h ⁴ ) bör vara av storleksordningen h ⁵ istället för h ⁴ eftersom om termerna i h ⁴ hade skrivits ut i ( E ₁₊ ) och ( E ₁₋ ), kan det vara sett att de skulle ha tagit bort varandra med f ( x + h ) −f ( x − h ) . Men för denna beräkning lämnas det så eftersom ordningen för feluppskattning inte behandlas här (jfr nedan).

På samma sätt har vi

$$f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\ pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm } )$$

och $(E_{2+})-(E_{2-})$ ger oss

$$f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{ 2}(h^{4}).\qquad (E_{2}).$$

För att eliminera termerna av ƒ ⁽³⁾ ( x ), beräkna 8 × ( E ₁ ) − ( E ₂ )

$$8f( x+h)-8f(xh)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4})$$

vilket ger formeln enligt ovan. Notera: koefficienterna för f i denna formel, (8, -8,-1,1), representerar ett specifikt exempel på det mer allmänna Savitzky–Golay-filtret .

Uppskattning av fel

Felet i denna approximation är av storleksordningen h ⁴ . Det kan man se av utbyggnaden

$${\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(xh)+f(x-2h)}{12h}}=f'( x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})$$

som kan erhållas genom att expandera den vänstra sidan i en Taylor-serie . Alternativt kan du tillämpa Richardson-extrapolering på approximationen av den centrala skillnaden till $f'(x)$ på rutnät med mellanrum 2 h och h .

1D högre ordningsderivat

De centrerade skillnadsformlerna för fempunktsschabloner som approximerar andra, tredje och fjärde derivator är

$${\begin{aligned}f''(x )&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(xh)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\ [1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(xh)-f(x-2h)}{2h^{ 3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(xh)+ f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}$$

Felen i dessa approximationer är O ( h ⁴ ), O ( h ² ) respektive O ( h ^{2 ).}

Relation till Lagrange-interpolerande polynom

Som ett alternativ till att härleda de ändliga skillnadsvikterna från Taylor-serien, kan de erhållas genom att differentiera Lagrangepolynomen

$$\ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\ neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},$$

där interpolationspunkterna finns

$$x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=xh,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+ 2h.$$

Sedan är det kvartspolynomet $p_{4}(x)$ som interpolerar f ( x ) vid dessa fem punkter

$$p_{4}(x)=\summa _{j=0}^{4}f(x_{j}) \ell _{j}(x)$$

och dess derivata är

$$p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).$$

Så den ändliga skillnadsapproximationen av f ′( x ) vid mittpunkten x = x ₂ är

$$f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2}) f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+ \ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})$$

Att utvärdera derivatorna av de fem Lagrangepolynomen vid x = x ₂ ger samma vikter som ovan. Denna metod kan vara mer flexibel eftersom utbyggnaden till ett olikformigt rutnät är ganska okomplicerat.

I två dimensioner

I två dimensioner, om till exempel storleken på kvadraterna i rutnätet är h gånger h , är fempunktsschablonen för en punkt ( x , y ) i rutnätet

$$\{(xh,y) ,(x,y),(x+h,y),(x,yh),(x,y+h)\},$$

bildar ett mönster som också kallas en quincunx . Denna stencil används ofta för att approximera Laplacian av en funktion av två variabler:

$$\nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(xh,y)+f(x+h,y)+f(x,yh)+f(x,y+ h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.$$

Felet i denna approximation är O ( h ² ), vilket kan förklaras enligt följande:

Från 3-punktsschablonerna för andraderivatan av en funktion med avseende på x och y:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&={\frac {f\left(x+\Delta x ,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4) }(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}& ={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}} }-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{aligned}}$$

Om vi ​​antar $\Delta x=\Delta y=h$ :

$${\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(xh,y\ höger)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,yh\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^ {(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\ left(xh,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,yh\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O \left(h^{2}\right)\\\end{aligned}}$$

Se även

• Stencilhoppning
• Finita skillnadskoefficienter
• Iterativa stencilloopar – klass av algoritmer Sidor som visar wikidata-beskrivningar som reserv

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , Dover . Nionde tryckningen. Tabell 25.2.