Kommutatorinsamlingsprocess

Inom gruppteorin , en gren av matematiken , är kommutatorinsamlingsprocessen en metod för att skriva ett element i en grupp som en produkt av generatorer och deras högre kommutatorer ordnade i en viss ordning . Kommutatorinsamlingsprocessen introducerades av Philip Hall 1934 och artikulerades av Wilhelm Magnus 1937. Processen kallas ibland en "insamlingsprocess".

Processen kan generaliseras för att definiera en helt ordnad delmängd av en fri icke-associativ algebra, det vill säga en fri magma ; denna delmängd kallas Halluppsättningen . Medlemmar av Hall-uppsättningen är binära träd ; dessa kan placeras i en-till-en-korrespondens med ord, dessa kallas Hall-orden ; Lyndon -orden är ett specialfall. Halluppsättningar används för att konstruera en bas för en fri Lie-algebra , helt analogt med kommutatorinsamlingsprocessen. Hallord ger också en unik faktorisering av monoider .

Påstående

Kommutatorinsamlingsprocessen anges vanligtvis för fria grupper , eftersom en liknande teorem då gäller för vilken grupp som helst genom att skriva den som en kvot av en fri grupp.

Antag att F ₁ är en fri grupp på generatorer a ₁ , ..., a _m . Definiera den fallande centrala serien genom att putta

F _{n +1} = [ F _n , F ₁ ]

De grundläggande kommutatorerna är element av F ₁ definierade och ordnade enligt följande:

• De grundläggande kommutatorerna för vikt 1 är generatorerna a ₁ , ..., a _m .
• Grundkommutatorerna för vikt w > 1 är elementen [ x , y ] där x och y är grundläggande kommutatorer vars vikter summerar till w , så att x > y och om x = [ u , v ] för grundläggande kommutatorer u och v då v ≤ y .

Kommutatorer är ordnade så att x > y om x har en vikt som är större än den för y , och för kommutatorer med valfri fast vikt väljs någon total ordning.

Då är F _n / F _{n +1} en ändligt genererad fri abelsk grupp med en bas bestående av grundläggande kommutatorer med vikten n .

Då kan vilket element av F som helst skrivas som

$g=c_{1}^{n_{1}}c_{2}^{n_{2}}\cdots c_{k}^ {n_{k}}c$

där c _i är de grundläggande kommutatorerna av vikt högst m ordnade i ordning, och c är en produkt av kommutatorer med vikt större än m , och n _i är heltal .

Se även

• Hall–Petresco identitet
• Monoid faktorisering

Läsning

•   Hall, Marshall (1959), Theory of groups , Macmillan, MR 0103215
•     Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (på tyska), Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050